Question

3．如圖所示，半徑R=2m的半球形大碗，固定在可以繞豎直軸OO′旋轉的水平轉臺上，其中O為碗中心，O′為碗的最低點．轉臺以一定角速度勻速旋轉，有一質(zhì)量為m=1kg的小球與碗一起勻速轉動．已知小球與半球形碗的球心O的連線跟豎直方向的夾角為θ=37°，球與碗間的動摩擦因數(shù)μ=0.5．
（1）當小球與碗無相對滑動趨勢時，求小球的速率
（2）若小球與碗一直保持相對靜止，求小球的最大速度．

Answer 1

分析 （1）當小球與碗無相對滑動趨勢時，摩擦力為零，靠重力和支持力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式求解；
（2）當速度增大時，重力和支持力的合力不夠提供向心力，當速度最大時，摩擦力方向沿罐壁切線向下達最大值，根據(jù)牛頓第二定律及平衡條件求解最大速度．

解答 解：（1）當小球與碗無相對滑動趨勢時，摩擦力為零，支持力和重力的合力提供向心力，有：$mgtanθ=m\frac{{v}_{2}}{Rsinθ}$
解得：v=$\sqrt{gtanθ•Rsinθ}=\sqrt{10×\frac{3}{4}×2×\frac{3}{5}}=3m/s$
（2）當ω＞ω₀時，重力和支持力的合力不夠提供向心力，當速度最大時，摩擦力方向沿半球形大碗壁切線向下達最大值，設此最大速度為v_max，
由牛頓第二定律得，
$fcosθ+{F}_{N}sinθ=m\frac{{{v}_{m}}^{2}}{Rsinθ}$，
fsinθ+mg=F_Ncosθ，
f=μF_N
聯(lián)立以上三式解得：
${v}_{m}=2\sqrt{6}m/s$
答：（1）當小球與碗無相對滑動趨勢時，則小球的速率為3m/s；
（2）若小球與碗一直保持相對靜止，則小球的最大速度為$2\sqrt{6}m/s$．

點評 解決本題的關鍵搞清物塊做圓周運動向心力的來源，結合牛頓第二定律，抓住豎直方向上合力為零，水平方向上的合力提供向心力進行求解，難度適中．