Question

5．如圖所示，AB為傾角θ=37°的粗糙斜面軌道，通過(guò)一小段光滑圓弧與光滑水平軌道BC相連接，質(zhì)量為m₂的小球乙靜止在水平軌道上，質(zhì)量為m₁的小球甲以速度v₀與乙球發(fā)生彈性正碰．
①則碰后小球甲速度多大？（用m₁，m₂，v₀表示）
②若m₁：m₂=1：2，且軌道足夠長(zhǎng)，要使兩球能發(fā)生第二次碰撞，求乙球與斜面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ的取值范圍．（sin37°=0.6，cos37°=0.8）

Answer 1

分析 由于兩球發(fā)生彈性碰撞，則動(dòng)量守恒、機(jī)械能守恒，結(jié)合動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律求出碰后兩球的速度大小，根據(jù)能能定理得出碰后乙球返回斜面底端的速度，抓住該速度大于甲的速度，得出動(dòng)摩擦因數(shù)的范圍

解答 解：①設(shè)碰后甲的速度為v₁，乙的速度為v₂，兩球碰撞過(guò)程中系統(tǒng)動(dòng)量守恒，以m₁的初速度方向?yàn)檎�方向，由�?dòng)量守恒定律得：
m₁v₀=mv₁v₁+m₂v₂…①
由機(jī)械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$m₁v₀²=$\frac{1}{2}$m₁v₁²+$\frac{1}{2}$m₂v₂²…②
聯(lián)立①②解得：v₁=$\frac{{（m}_{1}-{m}_{2}）{v}_{0}}{{m}_{1}+{m}_{2}}$，v₂=$\frac{2{m}_{1}{v}_{0}}{{m}_{1}+{m}_{2}}$；
②由題意知：m₁：m₂=1：2，則：v₁=$\frac{{（m}_{1}-{m}_{2}）{v}_{0}}{{m}_{1}+{m}_{2}}$=-$\frac{1}{3}$v₀，v₂=$\frac{2{m}_{1}{v}_{0}}{{m}_{1}+{m}_{2}}$=$\frac{2}{3}$v₀，
設(shè)上滑的最大位移大小為s，滑到斜面底端的速度大小為v，由動(dòng)能定理：
（m₂gsin37°+μm₂gcos37°）s=$\frac{1}{2}$m₂v₂²-0…③
（m₂gsin37°-μm₂gcos37°）s=$\frac{1}{2}$m₂v²-0…④
聯(lián)立③④解得：$（\frac{v}{{v}_{2}}）^{2}$=$\frac{3-4μ}{3+4μ}$，
乙要能追上甲，則：v＞$\frac{{v}_{0}}{3}$…⑤
解得：μ＜0.45；
答：①碰后小球甲速度為$\frac{{（m}_{1}-{m}_{2}）{v}_{0}}{{m}_{1}+{m}_{2}}$；
②若m₁：m₂=1：2，且軌道足夠長(zhǎng)，要使兩球能發(fā)生第二次碰撞，乙球與斜面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ的取值范圍是：μ＜0.45．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了動(dòng)量守恒、能量守恒、動(dòng)能定理的綜合運(yùn)用，知道彈性碰撞的特點(diǎn)，以及兩球發(fā)生第二次碰撞的條件是解決本題的關(guān)鍵．