Question

在如圖（a）所示的正方形平面oabc內(nèi)存在著垂直于該平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，已知正方形邊長(zhǎng)為L(zhǎng)．一個(gè)質(zhì)量為m、帶電量為+q的粒子（不計(jì)重力）在t=0時(shí)刻平行于oc邊從o點(diǎn)射入磁場(chǎng)中．
（1）若帶電粒子從a點(diǎn)射出磁場(chǎng)，求帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間及初速度大��；
（2）若磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度按如圖（b）所示的規(guī)律變化，規(guī)定磁場(chǎng)向外的方向?yàn)檎�方向，磁感�?yīng)強(qiáng)度的大小為B₀，假使帶電粒子能從oa邊界射出磁場(chǎng)，求磁感應(yīng)強(qiáng)度B變化周期T的最小值；
（3）若所加磁場(chǎng)與第（2）問中的相同，要使帶電粒子從b點(diǎn)沿著ab方向射出磁場(chǎng)，求滿足這一條件的磁感應(yīng)強(qiáng)度變化的周期T及粒子射入磁場(chǎng)時(shí)的速度v₀．

Answer 1

分析：（1）帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中由洛侖茲力提供向心力，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，從a點(diǎn)射出磁場(chǎng)時(shí)，運(yùn)動(dòng)半周，由牛頓定律和幾何關(guān)系求解．
（2）由牛頓定律和圓周運(yùn)動(dòng)公式求出粒子圓周運(yùn)動(dòng)的周期．根據(jù)軌跡分析在磁場(chǎng)變化的半個(gè)周期內(nèi)，粒子圓周運(yùn)動(dòng)偏轉(zhuǎn)角度，確定磁場(chǎng)變化的周期與粒子圓周運(yùn)動(dòng)周期的關(guān)系，磁感應(yīng)強(qiáng)度變化的周期T．根據(jù)對(duì)稱性，粒子在磁場(chǎng)變化的一個(gè)周期內(nèi)到達(dá)b點(diǎn)，其圓周運(yùn)動(dòng)的半徑最大，速度最大．由幾何知識(shí)求出最大的半徑，再牛頓定律求出最大的速度．
（3）畫出帶電粒子恰好能從oa邊界射出磁場(chǎng)時(shí)的軌跡，分析在磁場(chǎng)變化的半個(gè)周期內(nèi)，根據(jù)幾何知識(shí)確定粒子圓周運(yùn)動(dòng)偏轉(zhuǎn)角度，研究磁場(chǎng)變化的周期與粒子圓周運(yùn)動(dòng)周期的關(guān)系求解．

解答：解：（1）若帶電粒子從a點(diǎn)射出磁場(chǎng)，則做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r=

L

2

所需時(shí)間t=

T

2

=

πm

qB

又根據(jù)m

v02

r

=Bqv0
得v0=

BqL

2m

（2）要使粒子從oa邊射出，其臨界狀態(tài)軌跡如圖（1）所示
則有sinα=

1

2

α=30°
在磁場(chǎng)變化的半個(gè)周期內(nèi)，粒子在磁場(chǎng)中旋轉(zhuǎn)150°角，運(yùn)動(dòng)時(shí)間t=

5

12

T0=

5πm

6qB0

而t=

T

2

所以磁場(chǎng)變化的最小周期為T=

5πm

3qB0

（3）若使粒子從b點(diǎn)沿著ab方向射出磁場(chǎng)，軌跡如圖（2）．
在磁場(chǎng)變化的半個(gè)周期內(nèi)，粒子在磁場(chǎng)中旋轉(zhuǎn)的角度為2β，其中β=45°，
即

T

2

=

T0

4

所以磁場(chǎng)變化的周期為T=

πm

qB0

每一個(gè)圓弧對(duì)應(yīng)的弦長(zhǎng)OM為s=

2

n

L(n=2，4，6…)
圓弧半徑r=

s

2

=

L

n

（n=2，4，6…）
由m

v02

r

=Bqv0，得v0=

BqL

nm

（n=2，4，6…）
（1）帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為

πm

qB

及初速度大小為

BqL

2m

；
（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度B變化周期T的最小值為

5πm

3qB0

；
（3）滿足這一條件的磁感應(yīng)強(qiáng)度變化的周期T為

πm

qB0

，粒子射入磁場(chǎng)時(shí)的速度v₀為

BqL

nm

（n=2，4，6…）．

點(diǎn)評(píng)：本題解題的關(guān)鍵在于畫出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡，分析粒子圓周運(yùn)動(dòng)周期與磁場(chǎng)變化周期的關(guān)系．粒子圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)間往往根據(jù)軌跡的圓心角與周期的關(guān)系確定，t=

θ

2π

T，θ為圓心角．