Question

13．如圖所示，處于同一條豎直線上的兩個(gè)點(diǎn)電荷A、B帶等量同種電荷，電荷量為Q，GH是它們連線的垂直平分線，另有一個(gè)帶正電的小球C，質(zhì)量為m、電荷量為q（可視為點(diǎn)電荷，不影響A、B的電場(chǎng)分布），被長(zhǎng)為l的絕緣輕細(xì)線懸掛于O點(diǎn)，現(xiàn)在把小球C拉起到M點(diǎn)，使細(xì)線水平且與A、B處于同一豎直面內(nèi)，由靜止開始釋放，小球C向下運(yùn)動(dòng)到GH線上的N點(diǎn)時(shí)剛好速度為零，此時(shí)細(xì)線與豎直方向上的夾角θ=30°．求：
（1）判斷A、B帶正電還是負(fù)電？說(shuō)明理由．
（2）在A、B所形成的電場(chǎng)中，取N點(diǎn)電勢(shì)為零，M點(diǎn)的電勢(shì)為多少？
（3）若N點(diǎn)與A、B兩個(gè)點(diǎn)電荷所在位置正好形成一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正三角形，求N點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度的大小和方向．（靜電力常量為k）
（4）在第（3）問(wèn)的前提下，求小球運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)瞬間細(xì)線對(duì)小球的拉力大�。�
某同學(xué)解法如下：由于到達(dá)N點(diǎn)時(shí)速度為0，所以小球平衡，拉力的大小等于重力mg與電場(chǎng)力的合力，由三力平衡可求出拉力的大�。�
該同學(xué)的解法是否合理？若合理，請(qǐng)求出結(jié)果；若不合理，說(shuō)明理由并用你自己的方法求出拉力．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)電場(chǎng)力對(duì)小球C做功情況，分析A、B帶何種電荷．
（2）帶電小球C在A、B形成的電場(chǎng)中從M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)的過(guò)程中，重力和電場(chǎng)力做功，但合力做功為零，根據(jù)動(dòng)能定理可求出M、N間的電勢(shì)差，再得到M點(diǎn)的電勢(shì)．
（3）根據(jù)點(diǎn)電荷場(chǎng)強(qiáng)公式和電場(chǎng)的疊加原理求解N點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度的大小和方向．
（4）在N點(diǎn)，小球C受到重力mg、細(xì)線的拉力F_T以及A和B分別對(duì)它的斥力F_A和F_B四個(gè)力的作用，且沿細(xì)線方向的合力為零．根據(jù)力的合成與分解及幾何關(guān)系即可求解．
細(xì)線的拉力．

解答 解：（1）小球C向下運(yùn)動(dòng)到GH線上的N點(diǎn)時(shí)剛好速度為零，此過(guò)程中，重力做正功，而總功為零，說(shuō)明電場(chǎng)力對(duì)小球C做負(fù)功，則知A、B帶正電．
（2）帶電小球C從M運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)的過(guò)程中，重力和電場(chǎng)力做功，總功為零，由動(dòng)能定理得：
  qU_MN+mglcosθ=0
所以 U_MN=-$\frac{mglcos30°}{q}$
由U_MN=φ_M-φ_N，φ_N=0，解得 φ_M=-$\frac{mglcos30°}{q}$．
（3）A、B兩個(gè)點(diǎn)電荷在N點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)大小均為 E=k$\frac{Q}{{a}^{2}}$
由電場(chǎng)的疊加原理可得，N點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)大小 E_N=2Ecos30°=$\frac{\sqrt{3}kQ}{{a}^{2}}$，方向水平向右．
（4）該同學(xué)的解法不合理，因?yàn)樾∏蛟贜點(diǎn)的受力不平衡，不能根據(jù)平衡條件求細(xì)線對(duì)小球的拉力．
正確的解法如下：
   在N點(diǎn)，小球C受到重力mg、細(xì)線的拉力F_T、以及A和B分別對(duì)它的斥力F_A和F_B四個(gè)力的作用，如圖所示．
小球在N點(diǎn)的速度為零，向心力為零，則小球C沿細(xì)線方向的合力為零．
則有   F_T-mgcos30°-F_Acos30°=0
又 F_A=k$\frac{Qq}{{a}^{2}}$
解得 F_T=mgcos30°+k$\frac{Qq}{{a}^{2}}$cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（mg+k$\frac{Qq}{{a}^{2}}$）
答：
（1）A、B帶正電．
（2）M點(diǎn)的電勢(shì)為-$\frac{mglcos30°}{q}$．
（3）N點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)大小是$\frac{\sqrt{3}kQ}{{a}^{2}}$，方向水平向右．
（4）該同學(xué)的解法不合理，因?yàn)樾∏蛟贜點(diǎn)的受力不平衡，不能根據(jù)平衡條件求細(xì)線對(duì)小球的拉力．正確的答案是：細(xì)線的拉力為$\frac{\sqrt{3}}{2}$（mg+k$\frac{Qq}{{a}^{2}}$）．

點(diǎn)評(píng) 該題要掌握動(dòng)能定理以及力和場(chǎng)強(qiáng)的合成與分解，要知道要求電勢(shì)，往往先求電勢(shì)差，再求電勢(shì)，要能結(jié)合幾何關(guān)系求解相關(guān)物理量．