Question

我國(guó)發(fā)射的“嫦娥一號(hào)”探月衛(wèi)星沿近似于圓形的軌道繞月飛行。為了獲得月球表面全貌的信息，讓衛(wèi)星軌道平面緩慢變化。衛(wèi)星將獲得的信息持續(xù)用微波信號(hào)發(fā)回地球。設(shè)地球和月球的質(zhì)量分別為M和m，地球和月球的半徑分別為R和R₁，月球繞地球的軌道半徑和衛(wèi)星繞月球的軌道半徑分別為r和r₁，月球繞地球轉(zhuǎn)動(dòng)的周期為T。假定在衛(wèi)星繞月運(yùn)行的一個(gè)周期內(nèi)衛(wèi)星軌道平面與地月連心線共面，求在該周期內(nèi)衛(wèi)星發(fā)射的微波信號(hào)因月球遮擋而不能到達(dá)地球的時(shí)間（用M、m、R、R₁、r、r₁和T表示，忽略月球繞地球轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)遮擋時(shí)間的影響）。

Answer 1

如圖，O和O′分別表示地球和月球的中心。在衛(wèi)星軌道平面上，A是地月連心線OO′與地月球面的公切線ACD的交點(diǎn)，D、C和B分別是該公切線與地球表面、月球表面和衛(wèi)星圓軌道的交點(diǎn)。根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，過(guò)A點(diǎn)在另一側(cè)作地月球面的公切線，交衛(wèi)星軌道于E點(diǎn)。衛(wèi)星在上運(yùn)動(dòng)時(shí)發(fā)出的信號(hào)被遮擋。

設(shè)探月衛(wèi)星的質(zhì)量為m₀，萬(wàn)有引力常量為G，根據(jù)萬(wàn)有引力定律有

                           ①

                       ②

式中，T₁是探月衛(wèi)星繞月球轉(zhuǎn)動(dòng)的周期。由①②式得

                              ③

設(shè)衛(wèi)星的微波信號(hào)被遮擋的時(shí)間為t，則由于衛(wèi)星繞月做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，應(yīng)有

                                   ④

式中，α=∠CO′A，β=∠CO′B。由幾何關(guān)系得

                               ⑤

                                  ⑥

由③④⑤⑥式得

       ⑦