Question

作為我國對月球實施無人探測的第二階段任務，“嫦娥二號”衛(wèi)星預計在2011年前發(fā)射，登月器也將指日登陸月球．質量為m的登月器與航天飛機連接在一起，隨航天飛機繞月球做半徑為3R（ R為月球半徑）的圓周運動．當它們運行到軌道的A點時，登月器被彈離，航天飛機速度變大，登月器速度變小且仍沿原方向運動，隨后登月器沿橢圓登上月球表面的B點，在月球表面逗留一段時間后，經快速起動仍沿原橢圓軌道回到分離點A并立即與航天飛機實現(xiàn)對接．已知月球表面的重力加速度為g_月．試求：
（1）登月器與航天飛機一起在圓周軌道上繞月球運行的周期是多少？
（2）若登月器被彈射后，航天飛機的橢圓軌道半長軸為4R，則為保證登月器能順利返回A點，登月器可以在月球表面逗留的時間是多少？

Answer 1

（1）設登月器和航天飛機在半徑3R的軌道上運行時的周期為T，
因其繞月球作圓周運動，
所以應用牛頓第二定律有
G

Mm

(3R)2

=m(

2π

T

)2?3R…①
在月球表面的物體所受重力近似等于萬有引力，
即G

Mm0

R2

=m0g月…②
聯(lián)立①②解得T=6π

3R g月

…③
（2）設登月器在小橢圓軌道運行的周期是T₁，航天飛機在大橢圓軌道運行的周期是T₂．
對登月器和航天飛機依據開普勒第三定律分別有

T2

(3R) 3

=

T 21

(2R)3

…④

T2

(3R) 3

=

T 22

(4R)3

…⑤
為使登月器仍沿原橢圓軌道回到分離點與航天飛機實現(xiàn)對接，登月器可以在月球表面逗留的時間t應滿足
t=nT₂-T₁  （其中，n=1、2、3、…）…⑥
聯(lián)立③④⑤⑥得 t=4π(4n-

2

)

R g月

（其中，n=1、2、3、…）
答：（1）登月器與航天飛機一起在圓周軌道上繞月球運行的周期是6π

3R g月

（2）若登月器被彈射后，航天飛機的橢圓軌道半長軸為4R，則為保證登月器能順利返回A點，登月器可以在月球表面逗留的時間是4π(4n-

2

)

R g月

（其中，n=1、2、3、…）