Question

（2009?重慶）如圖，離子源A產生的初速為零、帶電量均為e、質量不同的正離子被電壓為U₀的加速電場加速后勻速通過準直管，垂直射入勻強偏轉電場，偏轉后通過極板HM上的小孔S離開電場，經過一段勻速直線運動，垂直于邊界MN進入磁感應強度為B的勻強磁場．已知HO=d，HS=2d，∠MNQ=90°．（忽略粒子所受重力）
（1）求偏轉電場場強E₀的大小以及HM與MN的夾角φ；
（2）求質量為m的離子在磁場中做圓周運動的半徑；
（3）若質量為4m的離子垂直打在NQ的中點S₁處，質量為16m的離子打在S₂處．求S₁和S₂之間的距離以及能打在NQ上的正離子的質量范圍．

Answer 1

分析：（1）正離子被電壓為U₀的加速電場加速后的速度可以通過動能定理求出，而正離子垂直射入勻強偏轉電場后，作類平拋運動，最終過極板HM上的小孔S離開電場，根據平拋運動的公式及幾何關系即可求出電場場強E₀，φ可以通過末速度沿場強方向和垂直電場方向的速度比求得正切值求解；
（2）正離子進入磁場后在勻強磁場中作勻速圓周運動，由洛侖茲力提供向心力，根據向心力公式即可求得半徑；
（3）根據離子垂直打在NQ的位置及向心力公式分別求出運動的半徑R₁、R₂，再根據幾何關系求出S₁和S₂之間的距離，能打在NQ上的臨界條件是，半徑最大時打在Q上，最小時打在N點上，根據向心力公式和幾何關系即可求出正離子的質量范圍．

解答：解：（1）正離子被電壓為U₀的加速電場加速后速度設為V₁，則
對正離子，應用動能定理有eU₀=

1

2

mV₁²，
正離子垂直射入勻強偏轉電場，作類平拋運動
受到電場力F=qE₀、產生的加速度為a=

F

m

，即a=

qE0

m

，
垂直電場方向勻速運動，有2d=V₁t，
沿場強方向：Y=

1

2

at²，
聯(lián)立解得E₀=

U0

d

又tanφ=

V1

at

，解得φ=45°；
（2）正離子進入磁場時的速度大小為V₂，
解得V₂=

V12+(at)2

正離子在勻強磁場中作勻速圓周運動，由洛侖茲力提供向心力，qV₂B=

mV22

R

，
解得離子在磁場中做圓周運動的半徑R=2

mU0 eB2

；
（3）根據R=2

mU0 eB2

可知，
質量為4m的離子在磁場中的運動打在S₁，運動半徑為R₁=2

(4m)U0 eB2

，
質量為16m的離子在磁場中的運動打在S₂，運動半徑為R₂=2

(16m)U0 eB2

，
又ON=R₂-R₁，
由幾何關系可知S₁和S₂之間的距離△S=

R22-ON2

-R₁，
聯(lián)立解得△S=4（

3

-1）

mU0 eB2

；
由R′²=（2 R₁）²+（ R′-R₁）²解得R′=

5

2

R₁，
再根據

1

2

R₁＜R＜

5

2

R₁，
解得m＜m_x＜25m．
答：（1）偏轉電場場強E₀的大小為

U0

d

，HM與MN的夾角φ為45°；（2）質量為m的離子在磁場中做圓周運動的半徑為2

mU0 eB2

；
    （3）S₁和S₂之間的距離為4（

3

-1）

mU0 eB2

，能打在NQ上的正離子的質量范圍為m＜m_x＜25m．

點評：本題第（1）問考查了帶電粒子在電場中加速和偏轉的知識（即電偏轉問題），加速過程用動能定理求解，偏轉過程用運動的合成與分解知識結合牛頓第二定律和運動學公式求解；第（2）問考查磁偏轉知識，先求進入磁場時的合速度v，再由洛倫茲力提供向心力求解R；第（3）問考查用幾何知識解決物理問題的能力．該題綜合性強，難度大．