Question

7．據(jù)美國(guó)《每日郵報(bào)》2014年4月18日?qǐng)?bào)道，美國(guó)國(guó)家航空航天局（NASA）目前宣布首次在太陽(yáng)系外發(fā)現(xiàn)“類地”行星Kepler-186f．已知該行星自轉(zhuǎn)周期為T，表面重力加速度為g，半徑為R，萬(wàn)有引力常量為G．求：
（1）該行星的質(zhì)量M；
（2）該行星的第一宇宙速度v；
（3）該行星的同步衛(wèi)星離行星表面的高度h．

Answer 1

分析 根據(jù)已知量，地球表面的物體受到的重力等于萬(wàn)有引力列出等式，
地球的同步衛(wèi)星的萬(wàn)有引力提供向心力，可以求出地球同步衛(wèi)星的高度．

解答 解：（1）根據(jù)引力等于重力，則有：$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=mg
解得行星的質(zhì)量為：M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$
（2）設(shè)質(zhì)量為m的衛(wèi)星繞火星表面飛行速度為v，萬(wàn)有引力提供向心力，有：$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R}$…①
又由于M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$…②
得：v=$\sqrt{gR}$
（3）其同步衛(wèi)星的周期等于其自轉(zhuǎn)周期T，則對(duì)其同步衛(wèi)星有：
$\frac{GMm}{（R+h）^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$（R+h）…③
聯(lián)立②③解得：h=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$-R
答：（1）該行星的質(zhì)量$\frac{g{R}^{2}}{G}$；
（2）該行星的第一宇宙速度$\sqrt{gR}$；
（3）該行星的同步衛(wèi)星離行星表面的高度$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$-R．

點(diǎn)評(píng) 解答此題要清楚地球表面的物體受到的重力等于萬(wàn)有引力，地球的同步衛(wèi)星的萬(wàn)有引力提供向心力．