Question

14．如圖所示，地球和行星J在同一平面內(nèi)同向繞太陽做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，行星J的公轉(zhuǎn)軌道半徑小于地球公轉(zhuǎn)軌道半徑，地球和太陽中心的連線與地球和行星的連線所夾的角叫地球?qū)υ撔行堑挠^察視角（簡(jiǎn)稱視角）．當(dāng)行星處于最大視角時(shí)是地球上的天文愛好者觀察該行星的最佳時(shí)期．地球的軌道半徑為R，運(yùn)轉(zhuǎn)周期為T（即一年），行星J的最大視角為θ（單位是弧度），引力常量為G，則（　　）

• A． 行星J的公轉(zhuǎn)周期小于T
• B． 行星J的公轉(zhuǎn)軌道半徑為Rcosθ
• C． 太陽質(zhì)量為M=$\frac{4{π}^{2}{R}^{2}}{G{T}^{2}}$
• D． 行星J相鄰兩次處于最大視角的時(shí)間間隔可能為△t=$\frac{（π+2θ）T\sqrt{si{n}^{3}θ}}{2π（1-\sqrt{si{n}^{3}θ}）}$

Answer 1

分析 根據(jù)題意知道當(dāng)行星處于最大視角處時(shí)，地球和行星的連線應(yīng)與行星軌道相切，運(yùn)用幾何關(guān)系求解軌道半徑．地球與某行星圍繞太陽做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬有引力提供向心力分別列出等式，解出周期，然后兩個(gè)周期相比求解．
根據(jù)題意知道當(dāng)行星處于最大視角處時(shí)，地球和行星的連線應(yīng)與行星軌道相切．地球與某行星圍繞太陽做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)開普勒第三定律及角速度公式列出等式，表示出周期，然后去進(jìn)行求解．

解答 解：A、太陽對(duì)地球的萬有引力提供向心力，$\frac{GMm}{R{′}^{2}}$=mR′$\frac{4{π}^{2}}{T{′}^{2}}$
解得：T′=$\sqrt{\frac{R{′}^{3}}{{R}^{3}}}$T，故A正確；
B、設(shè)行星的軌道半徑為R′，視角最大時(shí)，太陽與行星的連線和地球與行星的連線互相垂直，
如圖所示，則行星的軌道半徑為：R′=Rsinθ，故B錯(cuò)誤；                 
C、太陽對(duì)地球的萬有引力提供向心力，
由牛頓第二定律得：$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=mR$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
所以太陽的質(zhì)量為：M=$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$，故C錯(cuò)誤；
D、第一次處于最佳觀測(cè)期時(shí)，行星超前地球處于B處，則下一次處于最佳觀測(cè)期必定是地球超前行星，即如圖所示．設(shè)經(jīng)歷時(shí)間為t，則：
行星轉(zhuǎn)過的角度α₁=2π+∠BOB′
地球轉(zhuǎn)過的角度α₂=2（$\frac{π}{2}$-θ）+∠BOB′
則△α=α₁-α₂=π+2θ        　  
又△t=$\frac{△α}{{ω}_{2}-{ω}_{1}}$
解得：△t=$\frac{（π+2θ）T\sqrt{si{n}^{3}θ}}{2π（1-\sqrt{si{n}^{3}θ}）}$，故D正確；
故選：AD．

點(diǎn)評(píng) 向心力的公式選取要根據(jù)題目提供的已知物理量或要求解的物理量選取應(yīng)用．要注意物理問題經(jīng)常要結(jié)合數(shù)學(xué)幾何關(guān)系解決．正確作圖是解題的關(guān)鍵．