Question

如圖所示，A和B是兩個(gè)帶電小球，電量均為q，A固定在絕緣架上，B放在它的正上方很遠(yuǎn)距離的一塊絕緣板上，現(xiàn)手持絕緣板使B從靜止起以加速度a（a＜g）豎直向下做勻加速運(yùn)動(dòng)．已知B的質(zhì)量為m，靜電力常量為k，空氣阻力不計(jì)，求：
（1）B剛開(kāi)始脫離絕緣板時(shí)離A的高度h；
（2）如果B、A起始高度差為第（1）問(wèn)中高度的1.5倍，則B在脫離絕緣板前的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，電場(chǎng)力和板的支持力對(duì)B做功的代數(shù)和為多少？
（3）如果B、A起始高度差為第（1）問(wèn)中高度的1.5倍，a=

3

4

g，且B在脫離絕緣板后的最大速度為剛脫離時(shí)速度的

2

倍（一脫離就將板迅速移開(kāi)，兩球始終未接觸），則從剛脫離板直到最大速度過(guò)程中電場(chǎng)力對(duì)B做的功為多少？

Answer 1

分析：（1）當(dāng)板對(duì)B的支持力為零時(shí)，B開(kāi)始脫離絕緣板，根據(jù)牛頓第二定律求出B剛開(kāi)始脫離絕緣板時(shí)離A的高度h．
（2）在下降的過(guò)程中，B做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出B電荷離板前的動(dòng)能．對(duì)B電荷離板前的運(yùn)動(dòng)應(yīng)用動(dòng)能定理求出電場(chǎng)力和板的支持力對(duì)B做功的代數(shù)和．
（3）根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出B球剛脫離時(shí)的速度，由已知條件得到B在脫離絕緣板后的最大速度．B在脫離絕緣板后重力與庫(kù)侖力相等時(shí)速度最大，運(yùn)用動(dòng)能定理求解電場(chǎng)力做功．

解答：解：（1）B剛脫離板時(shí)，板對(duì)B的支持力為零，根據(jù)牛頓第二定律得：
mg-k

q2

h2

=ma
解得：h=q

k m(g-a)

．
（2）B球離板前做向下勻加速運(yùn)動(dòng)，下降的高度 H=1.5h
由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得，v²=2aH=3ah
所以B球離板前的動(dòng)能為：E_k=

1

2

mv2=1.5mah
對(duì)B電荷離板前的運(yùn)動(dòng)，應(yīng)用動(dòng)能定理得：
W_G+W_支+W_電=E_k-0
而W_G=1.5mgh．
所以W_支+W_電=E_k-W_G=1.5mah-1.5mgh=-1.5q

km(g-a)

（3）當(dāng)a=

3

4

g，由第2題得：B球剛離板時(shí)的速度為v=

3ah

=

3× 3 4 gh

=

3

2

gh

設(shè)B在脫離絕緣板后的速度最大時(shí)的高度為h′，則此時(shí)B的重力與庫(kù)侖力相等，有：mg=k

q2

h′2

從剛脫離板直到最大速度過(guò)程中，根據(jù)動(dòng)能定理得：
mg（1.5h-h′）+W_電=

1

2

m(

2

v)2-

1

2

mv2
聯(lián)立以上三式解得，W_電=-

3

8

mgq

k m(g-a)

+mgq

k mg

答：
（1）B剛開(kāi)始脫離絕緣板時(shí)離A的高度為q

k m(g-a)

．
（2）電場(chǎng)力和板的支持力對(duì)B做功的代數(shù)和為-1.5q

km(g-a)

．
（3）從剛脫離板直到最大速度過(guò)程中電場(chǎng)力對(duì)B做的功為-

3

8

mgq

k m(g-a)

+mgq

k mg

．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了動(dòng)能定理和牛頓第二定律，知道B離開(kāi)板前與板具有相同的加速度，B離開(kāi)板的瞬間支持力為零．本題中電場(chǎng)力是變力，運(yùn)用動(dòng)能定理求解功是常用的思路．