Question

如圖所示，長(zhǎng)為L的光滑水平軌道PQ與兩個(gè)曲率半徑相同的光滑圓弧軌道相連，圓弧軌道與水平軌道連接處的切線為水平方向，A球以速度v₀向右運(yùn)動(dòng)，與靜止于水平軌道中點(diǎn)處的小球B發(fā)生碰撞，碰撞時(shí)無(wú)機(jī)械能損失，已知A、B兩球的質(zhì)量分別為m_A，m_B，且m_A:m_B=1:4，小球在圓弧軌道上的運(yùn)動(dòng)可認(rèn)為是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。（每次碰撞均無(wú)機(jī)械能損失）試求：

（1）第一次碰撞剛結(jié)束時(shí)小球A、B各自的速度。

（2）兩球第二次碰撞位置距Q點(diǎn)多遠(yuǎn)？

（3）討論小球第n次碰撞結(jié)束時(shí)各自的速度。

Answer 1

（1）    

（2）

（3）n為奇數(shù)時(shí)，碰后速度為   

          n為偶數(shù)時(shí)，碰后速度為         

解析:

（1）設(shè)A、B球第一次碰撞剛結(jié)束時(shí)的速度分別為v₁、v₂，取向右為正，由碰撞過(guò)程中動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒得： （2分）

                                     （2分）

解得：         （2分）

（2）兩球在圓弧軌道上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間均為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)周期的二分之一，時(shí)間相等，側(cè)兩球在水平軌道上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間也相等。

       （4分）

到Q點(diǎn)的距離為         （2分）

      （3）設(shè)第二次碰撞后的A、B球速度分別為v₁＇、v₂＇，由碰撞中動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒得：     （1分）

（1分）

解得：            （2分）

第三次碰撞前速度與第一次碰撞前相同，因此第一次碰撞后速度與第一次碰撞后速度相同

計(jì)算可知第四次碰撞又回到中點(diǎn)位置，則第五次碰撞的速度與第一次完全相同

由此可知：n為奇數(shù)時(shí)，碰后速度為   

          n為偶數(shù)時(shí)，碰后速度為         （2分）