Question

水平放置的木柱，橫截面為邊長等于a的正四邊形ABCD；擺長4a的擺，懸掛在A點，如圖所示，開始時質(zhì)量為m的擺球處在與A等高的P點，這時擺線沿水平方向伸直；已知擺線能承受的最大拉力為7mg；若以初速度v₀豎直向下將擺球從P點拋出，為使擺球能始終沿圓弧運動，并最后擊中A點．求v₀的許可值范圍（不計空氣阻力）．

Answer 1

分析：擺球先后以正方形的頂點為圓心，半徑分別為R₁=4a，R₂=3a，R₃=2a，R₄=a為半徑各作四分之一圓周的圓運動．根據(jù)動能定理求出擺球沿半徑4a運動到最低點時的速度、沿半徑3a運動到水平位置時的速度，根據(jù)牛頓第二定律求出擺球經(jīng)過這兩個位置時擺線的拉力，當擺球繞C點以半徑2a運動到最高點時，要能沿圓弧運動，擺球經(jīng)過最高點時，由重力提供向心力，由牛頓第二定律求得臨界速度，根據(jù)動能定理求出擺球經(jīng)過最高點時v₀的最小值．當擺球開始繞D點以半徑R₄=a作圓周運動時，當擺線拉力達到最大，求出初速度的最大值，即可v₀的范圍．

解答：解：擺球先后以正方形的頂點為圓心，半徑分別為R₁=4a，R₂=3a，R₃=2a，R₄=a為半徑各作四分之一圓周的圓運動．

①當擺球從P點開始，沿半徑4a運動到最低點時的速度v₁，
根據(jù)動能定理：4mga=

1

2

mv12-

1

2

mv012
當擺球開始以v₁繞B點以半徑3a作圓周運動時，擺線拉力為T₁：
這時擺球的運動方程為：T1-mg=m

v12

3a

擺線的最大拉力為：T_max=7mg；
由此求得：v₀₁＜

10ga

．
②當擺球從B點開始，沿半徑3a運動到水平位置時的速度v₂，
根據(jù)動能定理：mga=

1

2

mv22-

1

2

mv022
當擺球開始以v₂繞C點以半徑2a作圓周運動時，擺線拉力為T₂：
這時擺球的運動方程為：T2=m

v22

2a

擺線的最大拉力為：T_max=7mg；
由此求得：v₀₂＜

12ga

．
③當擺球繞C點以半徑2a運動到最高點時，為確保沿圓周運動，
到達最高點有：mg=m

v32

2a

v3≥

gR3

=

2ga

．
由動能定理：-mga=

1

2

mv32-

1

2

mv0_2
由此求得：v₀₃＞2

ga

④當擺球運動到水平位置時，擊中A點時的速度v₀₄，
根據(jù)動能定理：0=

1

2

mv42-

1

2

mv042
當擺球開始以v₄繞D點以半徑R₃=a作圓周運動時，擺線拉力為T₃：
這時擺球的運動方程為：T3=m

v42

a

擺線的最大拉力為：T_max=7mg；
由此求得：v₀₄＜

7ga

．
綜上所述：2

ga

＜v0＜

7ga

．
答：v₀的許可值范圍為：2

ga

＜v0＜

7ga

．

點評：本題是動能定理與向心力臨界條件的結(jié)合，關(guān)鍵是分析擺球的運動過程，把握臨界條件．