Question

16．如圖所示，讓擺球從圖中的C位置靜止開始擺下，擺到最低點D處，擺線被燒斷，小球在粗糙的水平面上做勻減速運動，到達A孔，進入豎直面內的光滑圓形軌道，立即關閉A孔．已知擺線長L=3m，圓形軌道半徑R=0.4m，AD之間的距離為s=1m，小球質量m=1.0kg，小球與水平地面間的動摩擦因素μ=0.2（θ=60°，g=10m/s²）
（1）求擺線被燒斷前的瞬間所承受的拉力為多少？
（2）小球到達圓形軌道的最高點時速度為多少？
（3）若要使小球不脫離圓形軌道，求擺線初始位置時與豎直方向夾角θ的范圍．

Answer 1

分析 （1）擺球擺到D點時，根據動能定理求出擺球擺到D點時速度，由牛頓第二定律求出擺線的拉力．
（2）小球從D到圓形軌道最高點的過程中，由動能定理求小球到達圓形軌道的最高點時速度．
（3）要使要使小球不脫離圓形軌道，有兩種情況：一種在圓心以下做等幅擺動；另一種能通過圓軌道做完整的圓周運動．若小球進入A孔的速度較小，并且不脫離軌道，那么將會在圓心以下做等幅擺動，不脫離軌道，其臨界情況為到達圓心等高處速度為零，根據機械能守恒和動能定理求出θ．
要使擺球能進入圓軌道，恰好到達軌道的最高點，就剛好不脫離軌道，在最高點時，由重力提供向心力，由牛頓第二定律求出此時小球的速度，對從D到軌道最高點的過程，運用動能定理求解θ，再得到θ的范圍．

解答 解：（1）擺球到達最低點時有：${F_T}-mg=m\frac{v_D^2}{L}$----①
擺球由c點運到到B點的過程中，繩子拉力不做功，所以由動能定理得：$mgL（1-cosθ）=\frac{1}{2}mv_D^2$----②
解得F_T=20N
（2）由動能定理得：$mgL（1-cosθ）-μmg{s_{DA}}-mg•2R=\frac{1}{2}m{v^2}$----③
解得$v=\sqrt{10}m/s$
（3）當小球剛好到達圓形軌道的最高點時有：$mg=m\frac{v^2}{R}$----④
再根據動能定理有：$mgL（1-cosθ）-μmg{s_{DA}}-mg•2R=\frac{1}{2}m{v^2}$----⑤
解得θ=53°，所以θ≥53°
當小球剛好只能到達圓形軌道一半高的位置時，根據動能定理有：mgL（1-cosθ）-μmgs_DA-mg•R=0----⑥
解得θ=37°，所以θ≤37°
小球進入圓形軌道的條件是：mgL（1-cosθ）-μmgs_DA=0----⑦
解得 $cosθ=\frac{2}{3}$
因此，小球不脫離圓形軌道的條件是：$arccos\frac{2}{3}≤θ≤37°或θ≥53°$
答：
（1）擺線被燒斷前的瞬間所承受的拉力為20N．
（2）小球到達圓形軌道的最高點時速度為$\sqrt{10}$m/s．
（3）若要使小球不脫離圓形軌道，擺線初始位置時與豎直方向夾角θ的范圍是：$arccos\frac{2}{3}≤θ≤37°或θ≥53°$．

點評 本題考查機械能守恒定律及動能定理、向心力公式等；關鍵是要全面分析不能漏解，要知道擺球能進入圓軌道不脫離軌道，有兩種情況，再根據牛頓第二定律、機械能守恒和動能定理結合進行求解．