Question

7．如圖，玻璃球冠的折射率為$\sqrt{3}$，其底面鍍銀，底面半徑是球半徑的$\frac{\sqrt{3}}{2}$倍，在過球心O且垂直底面的平面（紙面）內(nèi)，有一與底面垂直的光線射到玻璃冠上的M點，該光線的延長線恰好過底面邊緣上的A點，求該光線從球面射出的方向相對于其初始入射方向的偏角．

Answer 1

分析 光線由M點射入后先發(fā)生折射，再在鍍銀底面發(fā)生反射，最后射出玻璃冠．已知球半徑、底面半徑以及折射率，則由幾何關系和折射定律可求得入射角、折射角，再由幾何關系可求得光線在鍍銀底面的入射角和反射角，從而可知反射光線與ON的關系，最后可求光線從球面射出的方向相對于其初始入射方向的偏角．

解答 解：設球半徑為R，球冠地面中心為O′，連接OO′，則OO′⊥AB
令∠OAO′=α
則：cosα=$\frac{O′A}{OA}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}R}{R}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$…①
即∠OAO′=α=30°…②
已知MA⊥AB，所以∠OAM=60°…③
設圖中N點為光線在球冠內(nèi)地面上的反射點，光路圖如圖所示．
設光線在M點的入射角為i，折射角為r，在N點的入射角為i′，反射角為i″，玻璃的折射率為n．
由于△OAM為等邊三角形，所以入射角i=60°…④
由折射定律得：sini=nsinr…⑤
代入數(shù)據(jù)得：r=30°…⑥
作N點的法線NE，由于NE∥MA，所以i′=30°…⑦
由反射定律得：i″=30°…⑧
連接ON，由幾何關系可知△MAN≌△MON，則∠MNO=60°…⑨
由⑦⑨式可得∠ENO=30°
所以∠ENO為反射角，ON為反射光線．由于這一反射光線垂直球面，所以經(jīng)球面再次折射后不改變方向．
所以，該光線從球面射出的方向相對于其初始入射方向的偏角為β=180°-∠ENO=150°．
答：光線從球面射出的方向相對于其初始入射方向的偏角為150°．

點評 本題關鍵之處是借助于光的折射與反射定律作出光路圖，同時利用幾何關系來輔助計算．