Question

【題目】游樂場(chǎng)中有各種各樣的玩具車如圖1，其中有一種玩具車的運(yùn)動(dòng)情況可以簡(jiǎn)化為如下模型：如圖2所示，軌道ABCD位于豎直平面內(nèi)，水平軌道AB與過山圓弧軌道相切于B點(diǎn)；C與圓心O等高；質(zhì)量m＝50kg的小車（可視為質(zhì)點(diǎn)）靜止在水平軌道上的點(diǎn)A；己知A點(diǎn)與B點(diǎn)相距L＝40m，豎直圓軌道的半徑R＝10m，圓弧光滑；小車在水平軌道AB間運(yùn)動(dòng)時(shí)受到的阻力恒為其重力的0.3倍。其它摩擦與空氣阻力均忽略不計(jì)，重力加速度為g＝10m/s2。若小車用自帶的電動(dòng)機(jī)提供動(dòng)力，電動(dòng)機(jī)輸出功率恒為P0＝5kW。試求：

（1）若小車剛好能到達(dá)C點(diǎn)，求小車經(jīng)過最低點(diǎn)B時(shí)對(duì)軌道的壓力；

（2）若小車在某一時(shí)刻關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)，要使小車都不脫離軌道，則發(fā)動(dòng)機(jī)工作時(shí)間的取值范圍如何。

Answer 1

【答案】（1）1500N，方向豎直向下；3000N，方向豎直向下（2）t1≤2.2s；t2≥3.7s

【解析】

（1）情形1：小車沒有通過C點(diǎn)，根據(jù)全過程動(dòng)能定理可得，小車發(fā)動(dòng)機(jī)工作時(shí)間滿足：

解得

情形1：小車通過D點(diǎn)，根據(jù)全過程動(dòng)能定理可得，小車發(fā)動(dòng)機(jī)工作時(shí)間滿足：

解得

（2）由于情形1：小車發(fā)動(dòng)機(jī)工作時(shí)間取最大值時(shí)，小車剛好到達(dá)C點(diǎn)返回，到達(dá)B點(diǎn)速度大小滿足：

解得

小車到達(dá)B點(diǎn)圓形軌道支持力滿足：

解得：

根據(jù)牛頓第三定律可得小車對(duì)圓形軌道的壓力為1500N，方向豎直向下；

對(duì)情形2：小車發(fā)動(dòng)機(jī)工作時(shí)間取最小值時(shí)，到達(dá)B點(diǎn)速度大小滿足：

解得

小車到達(dá)B點(diǎn)圓形軌道支持力滿足：

解得：

根據(jù)牛頓第三定律可得小車對(duì)圓形軌道的壓力為3000N，方向豎直向下；