Question

（2007?廣東）如圖（a）所示，一端封閉的兩條平行光滑導軌相距L，距左端L處的中間一段被彎成半徑為H的1/4圓弧，導軌左右兩段處于高度相差H的水平面上．圓弧導軌所在區(qū)域無磁場，右段區(qū)域存在磁場B₀，左段區(qū)域存在均勻分布但隨時間線性變化的磁場B（t），如圖（b）所示，兩磁場方向均豎直向上．在圓弧頂端，放置一質(zhì)量為m的金屬棒ab，與導軌左段形成閉合回路，從金屬棒下滑開始計時，經(jīng)過時間t₀滑到圓弧底端．設(shè)金屬棒在回路中的電阻為R，導軌電阻不計，重力加速度為g．
（1）問金屬棒在圓弧內(nèi)滑動時，回路中感應(yīng)電流的大小和方向是否發(fā)生改變？為什么？
（2）求0到時間t₀內(nèi)，回路中感應(yīng)電流產(chǎn)生的焦耳熱量．
（3）探討在金屬棒滑到圓弧底端進入勻強磁場B₀的一瞬間，回路中感應(yīng)電流的大小和方向．

Answer 1

分析：（1）由圖看出，左段區(qū)域中磁感應(yīng)強度隨時間線性變化，其變化率一定，由法拉第電磁感應(yīng)定律得知，回路中磁通量的變化率相同，回路中產(chǎn)生恒定的電流．
（2）由法拉第電磁感應(yīng)定律求出回路中感應(yīng)電動勢，根據(jù)歐姆定律和焦耳定律結(jié)合求解焦耳熱．
（3）在金屬棒滑到圓弧底端進入勻強磁場B₀的一瞬間，在很短的時間△t內(nèi)，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律E=

△Φ

△t

，及v=

△x

△t

，△Φ=B₀L△x+L²△B（t），I=

E

R

求出感應(yīng)電流的表達式，再進行討論．

解答：解：（1）感應(yīng)電流的大小和方向均不發(fā)生改變．因為金屬棒滑到圓弧任意位置時，回路中磁通量的變化率相同．
（2）0-t₀時間內(nèi)，設(shè)回路中感應(yīng)電動勢大小為E₀，感應(yīng)電流為I，感應(yīng)電流產(chǎn)生的焦耳熱為Q，由法拉第電磁感應(yīng)定律：E0=

△Φ

△t

=L2

B0

t0

根據(jù)閉合電路的歐姆定律：I=

E0

R

  由焦耳定律
有：Q=I²Rt₀=

L4 B 2 0

t0R

（3）設(shè)金屬進入磁場B₀一瞬間的速度為v，金屬棒在圓弧區(qū)域下滑的過程中，機械能守恒：mgH=

1

2

mv2
在很短的時間△t內(nèi)，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，金屬棒進入磁場B₀區(qū)域瞬間的感應(yīng)電動勢為E，則：
 E=

△Φ

△t

，v=

△x

△t

△Φ=B₀L△x+L²△B（t）         
由閉合電路歐姆定律得：I=

E

R

解得感應(yīng)電流：I=

B0L( 2gH - L t0 )

R

根據(jù)上式討論：
I．當

2gH

=

L

t0

時，I=0；
II．當

2gH

＞

L

t0

時，I=

B0L( 2gH - L t0 )

R

，方向為b→a；
III．當

2gH

＜

L

t0

時，I=

B0L( L t0 - 2gH )

R

，方向為a→b．
答：
（1）問金屬棒在圓弧內(nèi)滑動時，回路中感應(yīng)電流的大小和方向均不發(fā)生改變．
（2）0到時間t₀內(nèi)，回路中感應(yīng)電流產(chǎn)生的焦耳熱量是

L4 B 2 0

t0R

．
（3）探討在金屬棒滑到圓弧底端進入勻強磁場B₀的一瞬間，回路中感應(yīng)電流的大小和方向分別為：
I．當

2gH

=

L

t0

時，I=0；
II．當

2gH

＞

L

t0

時，I=

B0L( 2gH - L t0 )

R

，方向為b→a；
III．當

2gH

＜

L

t0

時，I=

B0L( L t0 - 2gH )

R

，方向為a→b．

點評：本題中（1）（2）問，磁通量均勻變化，回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢和感應(yīng)電流均恒定，由法拉第電磁感應(yīng)定律研究感應(yīng)電動勢是關(guān)鍵，第3問中，既感生電動勢，又動生電動勢，兩個電動勢方向相反，要進行討論才能確定感應(yīng)電流的方向．