Question

（2010?上海）如圖，三個(gè)質(zhì)點(diǎn)a、b、c質(zhì)量分別為m₁、m₂、M（M?m₁，M?m₂），在c的萬(wàn)有引力作用下，a、b在同一平面內(nèi)繞c沿逆時(shí)針?lè)较蜃鰟蛩賵A周運(yùn)動(dòng)，軌道半徑之比為r_a：r_b=1：4，則它們的周期之比T_a：T_b=

1：8

，從圖示位置開(kāi)始，在b轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過(guò)程中，a、b、c共線有

14

次．

Answer 1

分析：質(zhì)點(diǎn)a、b均在c點(diǎn)的萬(wàn)有引力的作用下繞c做圓周運(yùn)動(dòng)，由F_引=F_向，可求出周期比，每多轉(zhuǎn)半圈，三質(zhì)點(diǎn)共線一次，可先求出多轉(zhuǎn)半圈的時(shí)間，與總時(shí)間相比，得出三點(diǎn)共線次數(shù)．

解答：解：萬(wàn)有引力提供向心力，則有：G

Mm1

r 2 b

=m1ra

4π2

T 2 a

，G

Mm2

r 2 b

=m2rb

4π2

T 2 b

；
所以T_a：T_b=1：8；
設(shè)每隔時(shí)間t，a、b共線一次，則（ω_a-ω_b）t=π，所以t=

π

ωa-ωb

；
故b運(yùn)動(dòng)一周的過(guò)程中，a、b、c共線的次數(shù)為：n=

Tb

t

=

Tb(ωa-ωb)

π

=Tb(

2

Ta

-

2

TB

) =

2Tb

Ta

-2=14．
故答案為：1：8，14．

點(diǎn)評(píng)：本題根據(jù)向心力來(lái)源列式，即可求出周期之比；第二問(wèn)中，可以以質(zhì)點(diǎn)b、c系統(tǒng)為參考系，則a質(zhì)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)7圈，共線14次．