Question

在水平地面上方的足夠大的真空室內(nèi)存在著勻強電場和勻強磁場共存的區(qū)域，且電場與磁場的方向始終平行，在距離水平地面的某一高度處，有一個帶電量為q、質(zhì)量為m的帶負電的質(zhì)點，以垂直于電場方向的水平初速度v₀進入該真空室內(nèi)，取重力加速度為g．求：
（1）若要使帶電質(zhì)點進入真空室后做半徑為R的勻速圓周運動，求磁感應強度B₀的大小及所有可能的方向；
（2）當磁感應強度的大小變?yōu)锽時，為保證帶電質(zhì)點進入真空室后做勻速直線運動，求此時電場強度E的大小和方向應滿足的條件；
（3）若帶電質(zhì)點在滿足第（2）問條件下運動到空中某一位置M點時立即撤去磁場，此后運動到空中另一位置N點時的速度大小為v，求M、N兩點間的豎直高度H及經(jīng)過N點時重力做功的功率．

Answer 1

分析：（1）帶電質(zhì)點在電場與磁場中做勻速圓周運動，則電場力與重力相平衡，而洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律即可求解．
（2）根據(jù)質(zhì)點做勻速直線運動，質(zhì)點受力平衡，從而依據(jù)幾何關系可求出電場強度大小及其方向；
（3）當撤去磁場后，帶電質(zhì)點只受電場力和重力作用，在這個過程中電場力不做功，由機械能守恒定律可求出M、N兩點間的豎直高度H；由質(zhì)點做類平拋運動將其速度分解與功率表達式相結合，從而確定經(jīng)過N點時重力做功的功率．

解答：解：（1）由于帶電質(zhì)點在勻強電場E₀和勻強磁場B₀共存的區(qū)域做勻速圓周運動，
所以受到的電場力必定與重力平衡，
即      qE₀=mg                        
根據(jù)牛頓第二定律和向心力公式
   qv0B0=m

v 2 0

R

                           
解得     B0=

mv0

qR

            
磁感應強度B₀為豎直向上或豎直向下．
（2）磁場B和電場E方向相同時，如答圖1甲所示；磁場B和電場E方向相反時，如答圖1乙所示．
由于帶電質(zhì)點做勻速直線運動，由平衡條件和幾何關系可知
(qv0B)2+(qE)2=(mg)2
解得                             E=

(mg)2-(qv0B)2

q

              
圖中的θ角為                  θ=arcsin

qv0B

mg

                      
即電場E的方向為沿與重力方向夾角θ=arcsin

qv0B

mg

且斜向下的一切方向，
或θ=arctan

qv0B

qE

=

qv0B

(mg)2-(qv0B)2

，且斜向下方的一切方向．               
（3）當撤去磁場后，帶電質(zhì)點只受電場力和重力作用，這兩個力的合力大小為qv₀B，方向既垂直初速度v₀的方向也垂直電場E的方向．
設空中M、N兩點間的豎直高度為H，因電場力在這個過程中不做功，則由機械能守恒定律得

1

2

m v²=mgH+

1

2

m v₀²                      
解得     H=

v2- v 2 0

2g

                          
因帶電質(zhì)點做類平拋運動，由速度的分解可求得帶電質(zhì)點到達N點時沿合力方向的分速度大小為                  
  v_N=

v2- v 2 0

                          
又因電場力在這個過程中不做功，帶電質(zhì)點到達N點時，重力做功的功率等于合外力在此時的瞬時功率，
解得  P_N=qv₀Bv_N=qv0B

v2- v 2 0

   
答：（1）若要使帶電質(zhì)點進入真空室后做半徑為R的勻速圓周運動，則磁感應強度B₀的大小

mv0

qR

及所有可能的方向為豎直向上或豎直向下；
（2）當磁感應強度的大小變?yōu)锽時，為保證帶電質(zhì)點進入真空室后做勻速直線運動，則此時電場強度E的大小 E=

(mg)2-(qv0B)2

q

       方向應滿足的條件為電場E的方向為沿與重力方向夾角θ=arcsin

qv0B

mg

且斜向下的一切方向，或θ=arctan

qv0B

qE

=

qv0B

(mg)2-(qv0B)2

，且斜向下方的一切方向．      
（3）若帶電質(zhì)點在滿足第（2）問條件下運動到空中某一位置M點時立即撤去磁場，此后運動到空中另一位置N點時的速度大小為v，則M、N兩點間的豎直高度H及經(jīng)過N點時重力做功的功率為=qv0B

v2- v 2 0

．

點評：考查洛倫茲力提供向心力做勻速圓周運動的處理方法，由洛倫茲、電場力與重力相平衡，結合幾何關系來綜合求解；同時還考查機械能守恒定律，及類平拋運動規(guī)律，并運用功率的表達式來求解．