Question

（25分）地球赤道表面附近處的重力加速度為，磁場的磁感應強度的大小，方向沿經(jīng)線向北。赤道上空的磁感應強度的大小與成反比（r為考察點到地心的距離），方向與赤道附近的磁場方向平行。假設在赤道上空離地心的距離（為地球半徑）處，存在厚度為10km的由等數(shù)量的質子和電子的等離子層（層內磁場可視為勻強磁場），每種粒子的數(shù)密度非常低，帶電粒子的相互作用可以忽略不計。已知電子的質量，質子的質量，電子電荷量為，地球的半徑。

　　1.所考察的等離子層中的電子和質子一方面作無規(guī)則運動，另一方面因受地球引力和磁場的共同作用會形成位于赤道平面內的繞地心的環(huán)行電流，試求此環(huán)行電流的電流密度。

　　2.現(xiàn)設想等離子層中所有電子和質子，它們初速度的方向都指向地心，電子初速度的大小，質子初速度的大小。試通過計算說明這些電子和質子都不可能到到達地球表面。

Answer 1

解法一：

1.由于等離子層的厚度遠小于地球的半徑，故在所考察的等離子區(qū)域內的引力場和磁場都可視為勻強場.在該區(qū)域內磁場的磁感應強度

       （1）

引力加速度

             （2）

考察等離子層中的某一質量為m、電荷量為q、初速度為u的粒子，取粒子所在處為坐標原點O，作一直角坐標系Oxyz，Ox軸指向地球中心，Oz沿磁場方向，如圖1所示.該粒子的初速度在坐標系中的三個分量分別為u_x、u_y和u_z.因作用于粒子的引力沿x軸正方向，作用于粒子的洛倫茲力與z軸垂直，故粒子在z軸方向不受力作用，沿z軸的分速度保持不變. 現(xiàn)設想在開始時刻，附加給粒子一沿y軸正方向大小為v₀的速度，同時附加給粒子一沿y軸負方向大小為v₀的速度，要求與其中一個v₀相聯(lián)系的洛倫茲力正好與粒子所受的地球引力相平衡，即

   

得                                    （3）

用v表示u_x與沿y軸的速度的合速度（對質子取正號，對電子取負號），有

                          （4）

這樣，所考察的粒子的速度可分為三部分：

沿z軸的分速度．其大小和方向都保持不變，但對不同的粒子是不同的，屬于等離子層中粒子的無規(guī)則運動的速度分量．

沿y軸的速度．對帶正電的粒子，速度的方向沿y軸的負方向，對帶負電的粒子，速度的方向沿y軸的正方向．與這速度聯(lián)系的洛倫茲力正好和引力抵消，故粒子將以速率沿y軸運動．由（3）式可知，的大小是恒定的，與粒子的初速度無關，且對同種的粒子相同．

在平面內的速度．與這速度聯(lián)系的洛倫茲力使粒子在平面內作速率為的勻速率圓周運動，若以R表示圓周的半徑，則有

得                                                      （5）

由（4）、（5）式可知，軌道半徑不僅與粒子的質量有關，而且與粒子的初速度的x分量和y分量有關．圓周運動的速度方向是隨時間變化的，在圓周運動的一個周期內的平均速度等于0．

由此可見，等離子層內電子和質子的運動雖然相當復雜，但每個粒子都具有由（3）式給出的速度，其方向垂直于粒子所在處的地球引力方向，對電子，方向向西，對質子，方向向東．電子、質子這種運動稱為漂移運動，對應的速度稱為漂移速度．漂移運動是粒子的定向運動，電子、質子的定向運動就形成了環(huán)繞地球中心的環(huán)形電流．

由（3）式和（1）、（2）兩式以及有關數(shù)據(jù)可得電子和質子的漂移速度分別為

                           （6）

                       （7）

由于電子、質子漂移速度的方向相反，電荷異號，它們產(chǎn)生的電流方向相同，均為沿緯度向東.根據(jù)電流密度的定義有

                      （8）

代入有關數(shù)據(jù)得

                         （9）

電流密度的方向沿緯度向東.

2．上一小題的討論表明，粒子在平面內作圓周運動，運動的速率由（4）式給出，它與粒子的初速度有關．對初速度方向指向地心的粒子，圓周運動的速率為

                          （10）

由（1）、（2）、（3）、（5）、（10）各式并代入題給的有關數(shù)據(jù)可得電子、質子的軌道半徑分別為

                                             （11）

                                                 （12）

以上的計算表明，雖然粒子具有沿引力方向的初速度，但由于粒子還受到磁場的作用，電子和質子在地球半徑方向的最大下降距離分別為和，都遠小于等離子層的厚度，所考察的電子和質子仍在等離子層內運動，不會落到地面上.

解法二：

1.由于等離子層的厚度遠小于地球半徑，故在所考察等離子區(qū)域內的引力場和磁場都可視為勻強場.在該區(qū)域內磁場的磁感應強度

           （1）

引力加速度

              （2）

考察等離子層中的某一質量為m，電荷量為q、初速度為u的粒子，取粒子所在處為坐標原點O，作一直角坐標系Oxyz，Ox軸指向地球中心，Oz沿磁場方向，如圖1所示.該粒子的初速度在坐標系中的三個分量分別為u_x、u_y和u_z. 若以、、表示粒子在任意時刻t的速度在x方向、y方向和z方向的分速度，則帶電粒子在引力和洛倫茲力的共同作用下的運動方程為

                                    

                （3）

                                            （4）

                                （5）

（5）式表明，所考察粒子的速度在z軸上的分量保持不變，即

                                              （6）

作變量代換，令　　　　            （7）

 其中

                                                 （8）

把（7）、（8）式代入（3）、（4）式得

                         　　　　　　             （9）

                   　   　                    （10）

由（9）、(10) 兩式可知，作用于粒子的力在x和y方向的分量分別為

若用表示的方向與x軸的夾角，表示的方向與x軸的夾角，而，則有

可見，表明的方向與的方向垂直，粒子將在的作用下在平面內作速率為的勻速圓周運動．若以R表示圓周的半徑，則有

                                                    （11）

在勻速圓周運動中，V的大小是不變的，任何時刻V的值也就是時刻V的值，由（7）式和已知條件在時刻有

故有

                                  （12）

以上討論表明，粒子的運動可分成三部分：

根據(jù)（6）式，可知粒子沿z軸的分速度大小和方向都保持不變，但對不同的粒子是不同的，屬于等離子層中粒子的無規(guī)則運動的速度分量．

根據(jù)（7）式可得，，表明粒子在平面內以速率作圓周運動的同時，又以速度沿y軸運動．、是圓周運動速度的x分量和y分量．圓周運動的軌道半徑不僅與粒子的質量有關，而且與粒子的初速度的x分量和y分量有關．圓周運動的速度方向是隨時間變化的，在圓周運動的一個周期內的平均速度等于0．

沿y軸的速度由（8）式給出，其大小是恒定的，與粒子的初速度無關，同種粒子相同，但對帶正電的粒子，其方向沿y軸的負方向，對帶負電的粒子，其方向沿y軸的正方向．

由此可見，等離子層內電子和質子雖然相當復雜，但每個粒子都具有由（8）式給出的速度，其方向垂直于粒子所在處的地球引力，對電子，方向向西，對質子，方向向東．電子、質子這種運動稱為漂移運動，對應的速度稱為漂移速度．漂移運動是粒子的定向運動，電子、質子的定向運動就形成了環(huán)繞地球中心的環(huán)形電流．

由（8）式和（1）、（2）兩式以及有關數(shù)據(jù)可得電子和質子的漂移速度分別為

                          （13）

                             （14）

由于電子、質子漂移速度的方相反，電荷異號，它們產(chǎn)生的電流方向相同，均為沿緯度向東.根據(jù)電流密度的定義有

                       （15）

代入有關數(shù)據(jù)得

                       （16）

電流密度的方向沿緯度向東.

2．上一小題的討論表明，粒子在平面內作圓周運動，運動的速率由（12）式給出，它與粒子的初速度有關．對初速度方向指向地心的粒子，圓周運動的速率為

                         （17）

因題給出的電子與質子的初速度是不同的，電子、質子的質量又是不同的，故電子、質子在平面內作圓周運動的半徑也是不同的．由（1）、（2）、（8）、（11）、（12）各式并代入有關數(shù)據(jù)可得電子、質子的軌道半徑分別為

                                （18）

                                   （19）

以上的計算表明，雖然粒子具有沿引力方向的初速度，但由于粒子還受到磁場的作用，電子和質子在地球半徑方向的最大下降距離分別為和，都遠小于電離層的厚度，所考察的電子和質子仍在等離子層內運動，不會落到地面上。