Question

1．如圖，光滑半圓弧軌道BC與光滑斜面AB在B點平滑連接，圓弧半徑為R=0.4m，一半徑很小，質量為m=0.2kg的小球從光滑斜面上A點由靜止釋放，恰好能通過圓弧軌道最高點C，（小球在軌道連接處無機械能損失，不計空氣阻力，g=10m/s²）求：
（1）小球最初釋放的高度h；
（2）若要使小球離開C點恰好垂直撞擊到斜面上，斜面的傾角θ的正切值為多大？

Answer 1

分析 （1）小球恰好能通過圓弧軌道最高點C，說明此時恰好是物體的重力作為向心力，由向心力的公式可以求得在C點的速度大小，從A到C的過程中，物體的機械能守恒，從而可以求得小球釋放時離最低點的高度；
（2）小球離開C點后做平拋運動，根據平拋運動的基本公式結合幾何關系求解．

解答 解：（1）由物體恰好通過最高點C，則有：mg=m$\frac{{{v_c}^2}}{R}$①
物體從A點運動到C點機械能守恒，所以：mg（h-2R）=$\frac{1}{2}m{v_c}^2$②
聯(lián)立①②代入數據解得h=1m
（2）設小球落到斜面上的點為D，如圖所示，設DB=a，根據平拋運動的規(guī)律和幾何知識得：
2R-$\frac{1}{2}$gt²=asinθ③
Vct=acosθ④
tanθ=$\frac{v_c}{gt}$⑤
聯(lián)立①③④⑤解得：tanθ=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
答：（1）小球最初釋放的高度h為1m；
（2）若要使小球離開C點恰好垂直撞擊到斜面上，斜面的傾角θ的正切值為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

點評 小球的運動過程可以分為三部分，第一段是勻加速直線運動，第二段的機械能守恒，第二段圓周運動，第三段是平拋運動，分析清楚各部分的運動特點，采用相應的規(guī)律求解即可．