Question

11．如圖所示，有一個(gè)可視為質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m=1kg的小物塊，從光滑平臺(tái)上的A點(diǎn)以v₀=3m/s的初速度水平拋出，到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，恰好沿C點(diǎn)的切線(xiàn)方向進(jìn)入固定在水平地面上的光滑圓弧軌道，最后小物塊滑上緊靠軌道末端D點(diǎn)的質(zhì)量為M=3kg的長(zhǎng)木板．已知木板上表面與圓弧軌道末端切線(xiàn)相平，木板下表面與水平地面之間光滑接觸，小物塊與長(zhǎng)木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.3，圓弧軌道的半徑為R=0.5m，C點(diǎn)和圓弧的圓心連線(xiàn)與豎直方向的夾角θ=53°，不計(jì)空氣阻力，取重力加速度g=10m/s²．求：
（1）A、C兩點(diǎn)的高度差；
（2）小物塊到達(dá)圓弧軌道末端D點(diǎn)時(shí)速度為v_D=$\sqrt{29}$ m/s，此時(shí)小物塊對(duì)軌道的壓力；
（3）小物塊到達(dá)圓弧軌道末端D點(diǎn)時(shí)速度為v_D=$\sqrt{29}$ m/s，要使小物塊不滑出長(zhǎng)木板，木板的最小長(zhǎng)度是多少？（sin 53°=0.8，cos 53°=0.6）

Answer 1

分析 （1）小球從A點(diǎn)拋出做平拋運(yùn)動(dòng)，將C點(diǎn)的速度進(jìn)行分解，求出豎直分速度的大小，從而根據(jù)豎直方向上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律求出AC兩點(diǎn)的高度差．
（2）根據(jù)牛頓第二定律求出支持力的大小，從而得出物塊對(duì)軌道的壓力．
（3）當(dāng)小物塊剛好不從長(zhǎng)木板滑出時(shí)，與木板具有相同的速度，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出共同的速度，因?yàn)槟Σ亮εc相對(duì)路程的乘積等于產(chǎn)生的熱量，結(jié)合能量守恒定律求出木板的長(zhǎng)度．

解答 解：（1）小物塊在C點(diǎn)時(shí)的速度大小為v_C=$\frac{{v}_{0}}{cos53°}$=$\frac{3}{\frac{3}{5}}$=5m/s，
豎直分量為v_Cy=v_Csin53°=4m/s
下落高度h=$\frac{{{v}_{Cy}}^{2}}{2g}=\frac{16}{20}$=0.8m
（2）小球在D點(diǎn)時(shí)由牛頓第二定律得F_N-mg=m$\frac{{{v}_{D}}^{2}}{R}$
代入數(shù)據(jù)解得F_N=68N
由牛頓第三定律得F_N′=F_N=68N，方向豎直向下
（3）設(shè)小物塊剛好滑到木板右端時(shí)與木板達(dá)到共同速度，大小為v，小物塊在木板上滑行的過(guò)程中，小物塊與長(zhǎng)木板的加速度大小分別為
a₁=μg=3m/s²，
a₂=$\frac{μmg}{M}$=1m/s²
速度分別為v=v_D-a₁t，v=a₂t
對(duì)物塊和木板系統(tǒng)，由能量守恒定律得
μmgL=$\frac{1}{2}$mv_D²-$\frac{1}{2}$（m+M）v²
解得：L=3.625m，即木板的長(zhǎng)度至少是3.625m
答：（1）A、C兩點(diǎn)的高度差為0.8m；
（2）小物塊到達(dá)圓弧軌道末端D點(diǎn)時(shí)速度為v_D=$\sqrt{29}$ m/s，此時(shí)小物塊對(duì)軌道的壓力大小為68N，方向豎直向下；
（3）小物塊到達(dá)圓弧軌道末端D點(diǎn)時(shí)速度為v_D=$\sqrt{29}$ m/s，要使小物塊不滑出長(zhǎng)木板，木板的最小長(zhǎng)度是3.625m．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了動(dòng)能定理、牛頓第二定律、能量守恒定律等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，關(guān)鍵理清物塊的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，選擇合適的規(guī)律進(jìn)行求解．