Question

9．已知地球半徑為R，地表重力加速度為g，同步衛(wèi)星和“神州七號”衛(wèi)星離地高度分別為h₁和h₂，求：
（1）同步衛(wèi)星和“神州七號”衛(wèi)星的線速度之比．
（2）赤道上的物體和“神州七號”衛(wèi)星的角速度之比．
（3）赤道上的物體和“神州七號”衛(wèi)星的向心加速度之比．

Answer 1

分析 同步衛(wèi)星定軌道（在赤道上方），定周期（與地球的自轉(zhuǎn)周期相同），定速率、定高度．根據(jù)萬有引力定律知向心力的大��；根據(jù)萬有引力提供向心力，可知出同步衛(wèi)星的軌道半徑比沿赤道上空運動的近地衛(wèi)星軌道半徑大，進而判定v、ω、a的大�。�

解答 解：（1）近地衛(wèi)星、同步衛(wèi)星的向心力是由萬有引力提供，
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
解得：v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，
同步衛(wèi)星和“神州七號”衛(wèi)星離地高度分別為h₁和h₂，所以同步衛(wèi)星和“神州七號”衛(wèi)星的線速度之比是$\sqrt{\frac{R{+h}_{2}}{R{+h}_{1}}}$，
（2）根據(jù)萬有引力提供向心力得：
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=mω²r
ω=$\sqrt{\frac{GM}{{r}^{3}}}$，
同步衛(wèi)星、赤道上的物體的角速度相等，
所以赤道上的物體和“神州七號”衛(wèi)星的角速度之比是$\sqrt{\frac{{（R{+h}_{2}）}^{3}}{{（R{+h}_{1}）}^{3}}}$，
（3）同步衛(wèi)星、赤道上的物體的角速度相等，根據(jù)a=mω²r，
所以赤道上的物體和同步衛(wèi)星的向心加速度之比是$\frac{R}{R{+h}_{1}}$，
根據(jù)萬有引力提供向心力得：
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=ma
同步衛(wèi)星和“神州七號”衛(wèi)星的向心加速度之比是$\frac{{（R{+h}_{2}）}^{2}}{{（R{+h}_{1}）}^{2}}$，
所以赤道上的物體和“神州七號”衛(wèi)星的向心加速度之比是$\frac{{R（R{+h}_{2}）}^{2}}{{（R{+h}_{1}）}^{3}}$，
答：（1）同步衛(wèi)星和“神州七號”衛(wèi)星的線速度之比是$\sqrt{\frac{R{+h}_{2}}{R{+h}_{1}}}$．
（2）赤道上的物體和“神州七號”衛(wèi)星的角速度之比是$\sqrt{\frac{{（R{+h}_{2}）}^{3}}{{（R{+h}_{1}）}^{3}}}$．
（3）赤道上的物體和“神州七號”衛(wèi)星的向心加速度之比是$\frac{{R（R{+h}_{2}）}^{2}}{{（R{+h}_{1}）}^{3}}$．

點評 解決本題的關(guān)鍵掌握同步衛(wèi)星的特點：同步衛(wèi)星定軌道（在赤道上方），定周期（與地球的自轉(zhuǎn)周期相同），定速率、定高度．以及掌握萬有引力提供向心力的公式．