Question

（1）開普勒第三定律告訴我們：行星繞太陽一周所需時(shí)間的平方跟橢圓軌道半長徑的立方之比是一個(gè)常量．如果我們將行星繞太陽的運(yùn)動(dòng)簡化為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，請你運(yùn)用牛頓第二定律、萬有引力定律及圓周運(yùn)動(dòng)公式，推出這一規(guī)律
（2）太陽系只是銀河系中一個(gè)非常渺小的角落，銀河系中至少還有3000多億顆恒星，銀河系中心的質(zhì)量相當(dāng)于400萬顆太陽的質(zhì)量．通過觀察發(fā)現(xiàn)，恒星繞銀河系中心運(yùn)動(dòng)的規(guī)律與開普勒第三定律存在明顯的差異，且周期的平方跟圓軌道半徑的立方之比隨半徑的增大而減�。�請你對上述現(xiàn)象發(fā)表看法．

Answer 1

分析：1、行星繞太陽做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬有引力提供向心力G

Mm

r2

=mr(

2π

T

)2，化簡可推導(dǎo)出

T2

r3

=

4π2

GM

，行星繞太陽一周所需時(shí)間的平方跟橢圓軌道半長徑的立方之比只與中心天體--太陽的質(zhì)量有關(guān)．
2、根據(jù)

T2

r3

=

4π2

GM

，比值減小的原因，只有一個(gè)那就是中心天體的質(zhì)量變大．

解答：解：（1）行星繞太陽做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，所需要的向心力由萬有引力提供，G

Mm

r2

=mr(

2π

T

)2
化簡得

T2

r3

=

4π2

GM

．
即：行星繞太陽一周所需時(shí)間的平方跟橢圓軌道半長徑的立方之比是一個(gè)常量．
（2）由關(guān)系式

T2

r3

=

4π2

GM

可知：周期的平方跟圓軌道半徑的立方之比的大小與圓心處的等效質(zhì)量有關(guān)，因此半徑越大，等效質(zhì)量越大．
觀點(diǎn)一：銀河系中心的等效質(zhì)量，應(yīng)把圓形軌道以內(nèi)的所有恒星的質(zhì)量均計(jì)算在內(nèi)，因此半徑越大，等效質(zhì)量越大．
觀點(diǎn)二：銀河系中心的等效質(zhì)量，應(yīng)該把圓形軌道以內(nèi)的所有質(zhì)量均計(jì)算在內(nèi)，在圓軌道以內(nèi)，可能存在一些看不見的、質(zhì)量很大的暗物質(zhì)，因此半徑越大，等效質(zhì)量越大．

點(diǎn)評：本題主要考查萬有引力提供向心力這個(gè)關(guān)系，并能根據(jù)這個(gè)關(guān)系推導(dǎo)開普勒第三定律，難度不大，屬于中檔題．