Question

【題目】如圖所示，以O為圓心、半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)存在垂直圓面向里、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，一粒子源位于圓周上的M點(diǎn)，可向磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi)垂直磁場(chǎng)沿各個(gè)方向發(fā)射質(zhì)量為m、電荷量為q的粒子，不計(jì)粒子重力，N為圓周上另一點(diǎn)，半徑OM和ON間的夾角θ，且滿(mǎn)足．

（1）若某一粒子以速率v1，沿MO方向射入磁場(chǎng)，恰能從N點(diǎn)離開(kāi)磁場(chǎng)，求此粒子的速率移v1；

（2）若某一粒子以速率v2，沿與M成600角斜向上方向射入磁場(chǎng)，求此粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；

（3）若大量此類(lèi)粒子以速率v3，從M點(diǎn)射入磁場(chǎng)，方向任意，則這些粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間為多少？

（4）若由M點(diǎn)射入磁場(chǎng)各個(gè)方向的所有粒子速率均為題（1）中計(jì)算出的v1，求磁場(chǎng)中有粒子通過(guò)的區(qū)域面積．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）（4）

【解析】試題分析：（1）某一粒子以速率，沿MO方向射入磁場(chǎng)，恰能從N點(diǎn)離開(kāi)磁場(chǎng)，由幾何關(guān)系求得其做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，由洛侖茲力提供向心力求出入射速度．（2）某一粒子以速率，沿與MO成角斜向上方向射入磁場(chǎng)，由半徑公式知，該粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑等于磁場(chǎng)區(qū)域的半徑，由幾何關(guān)系知道，該粒子的軌跡和偏轉(zhuǎn)角均能求出，從而求出該粒子運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．（3）首先做出軌跡圖，利用幾何關(guān)系判斷出當(dāng)弦長(zhǎng)為多少時(shí)運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)，從而可以計(jì)算出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)行的最長(zhǎng)時(shí)間；（4）若由M點(diǎn)射人磁場(chǎng)各個(gè)方向的所有粒子速率均為，這些粒子在磁場(chǎng)中有相同的半徑，則圓心軌跡是以M為圓心、半徑為的圓．試著畫(huà)出極端情況下粒子能達(dá)到的區(qū)域，從而把粒子能到達(dá)的整個(gè)區(qū)域面積求出來(lái)．

（1）粒子以速率沿MO方向射入磁場(chǎng)，在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，恰好從N點(diǎn)離開(kāi)磁場(chǎng)，其運(yùn)動(dòng)軌跡如圖

設(shè)粒子軌跡半徑為，由幾何關(guān)系得：

由牛頓第二定律得：

解得：粒子的速度為

（2）粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力， 設(shè)軌跡半徑為

由牛頓第二定律得： 解得：

粒子沿與與MO成方向進(jìn)入磁場(chǎng)，設(shè)粒子從區(qū)域邊界P射出，其運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示

由圖中幾何關(guān)系可知粒子軌跡所對(duì)應(yīng)的圓心角為

粒子運(yùn)動(dòng)周期： ，則粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：

（3）由牛頓第二定律得： 解得：

故以M所在直徑為弦長(zhǎng)的圓弧對(duì)應(yīng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)，如圖所示

由幾何關(guān)系得： ，則

故運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間為

（4）粒子沿各個(gè)方向以進(jìn)入磁場(chǎng)做勻速圓周時(shí)的軌跡半徑都為，且不變，如圖所示

由圖可知，粒子在磁場(chǎng)中 通過(guò)的面積S等于以為圓心的扇形的面積、以M為圓心的扇形MOQ的面積和以O點(diǎn)為圓心的圓弧MQ與直線(xiàn)MQ圍成的面積之和．

則有： ， ，

所以：