Question

（2010?廈門(mén)二模）磁懸浮鐵路系統(tǒng)是一種新型的交通運(yùn)輸系統(tǒng)，（如圖1）它是利用電磁系統(tǒng)產(chǎn)生的吸引力或排斥力將車輛托起，使整個(gè)列車懸浮在導(dǎo)軌上．同時(shí)利用電磁力進(jìn)行驅(qū)動(dòng)．采用直線電機(jī)模式獲得驅(qū)動(dòng)力的列車可簡(jiǎn)化為如下情景：固定在列車下端的矩形金屬框隨車平移；軌道區(qū)域內(nèi)存在垂直于金屬框平面的磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度沿Ox方向按正弦規(guī)律分布，最大值為B₀，其空間變化周期為2d，整個(gè)磁場(chǎng)以速度v₁沿Ox方向向前高速平移，由于列車沿Ox方向勻速行駛速度v₂與磁場(chǎng)平移速度不同，而且v₁＞v₂，列車相對(duì)磁場(chǎng)以v₁-v₂的速度向后移動(dòng)切割磁感線，金屬框中會(huì)產(chǎn)生感應(yīng)電流，該電流受到的向前安培力即為列車向前行駛的驅(qū)動(dòng)力．設(shè)金屬框電阻為R，長(zhǎng)PQ=L，寬NP=d，求：
（1）如圖2為列車勻速行駛時(shí)的某一時(shí)刻，MN、PQ均處于磁感應(yīng)強(qiáng)度最大值處，此時(shí)金屬框內(nèi)感應(yīng)電流的大小和方向．
（2）列車勻速行駛S距離的過(guò)程中，矩形金屬線框產(chǎn)生的焦耳熱．
（3）列車勻速行駛時(shí)所獲得的最大驅(qū)動(dòng)力的大小，并在圖3中定性畫(huà)出驅(qū)動(dòng)力功率隨時(shí)間變化在

2d

v1-v2

時(shí)間內(nèi)的關(guān)系圖線．

Answer 1

分析：（1）由題v₁＞v₂，線框中MN、PQ都切割磁感線，相對(duì)于磁場(chǎng)向左運(yùn)動(dòng)，從而產(chǎn)生感應(yīng)電流，感應(yīng)電流方向由右手定則判斷．線框相對(duì)于磁場(chǎng)速度大小為v₁-v₂，MN、PQ都產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，可公式求出感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)和感應(yīng)電流．
（2）列車勻速行駛過(guò)程中，線框中產(chǎn)生正弦式交變電流，根據(jù)有效值求出金屬線框產(chǎn)生的焦耳熱．
（3）當(dāng)MN、PQ應(yīng)位于磁場(chǎng)中磁感應(yīng)強(qiáng)度同為最大值且方向相反處時(shí)，線框中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)最大，感應(yīng)電流最大，金屬框左右兩邊所受安培力最大，列車獲得的驅(qū)動(dòng)力最大，根據(jù)電磁感應(yīng)知識(shí)求出最大驅(qū)動(dòng)力表達(dá)式和其功率表達(dá)式．

解答：解：（l）磁場(chǎng)沿Ox方向運(yùn)動(dòng)，v₁＞v₂，等效金屬框相對(duì)磁場(chǎng)向-x方向運(yùn)動(dòng)．由于此時(shí)刻MN、PQ邊所在處的磁感就強(qiáng)度大小均為B₀且方向相反，金屬框產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)：E=2B₀L（v₁-v₂）…①
  I=

E

R

…②
 I=

2B0L(v1-v2)

R

…③
電流的方向根據(jù)右手定則可知為：N→M→Q→P→N             
（2）設(shè)經(jīng)過(guò)時(shí)間t，金屬框MN，PQ所在處磁場(chǎng)強(qiáng)度大小均為B，B=B₀cosωtω=

2π

T

，
又 T=

2d

(v1-v2)

得：ω=

π(v1-v2)

d

i=

2B L(v1-v2)

R

=2

B0L

R

(v1-v2)cosωt
得到電流瞬時(shí)值的表達(dá)式是：i=2

B0L

R

(v1-v2)cos

π(v1-v2)

d

t…④
④式是正弦交流電流，其交流電最大值為：Im=

2B0L(v1-v2)

R

…⑤
其交流電有效值為：I=

Im

2

…⑥
  t=

S

v2

…⑦
矩形金屬線框的發(fā)熱功率為：Q=I²Rt…⑧
得：Q=

2 B 2 0 L2S(v1-v2)2

Rv2

…⑨
（3）為使列車得最大驅(qū)動(dòng)力，MN、PQ應(yīng)位于磁場(chǎng)中磁感應(yīng)強(qiáng)度同為最大值且反向處，這會(huì)使得金屬框所圍面積的磁通量變化率最大，導(dǎo)致框中電流最強(qiáng)，也會(huì)使得金屬框長(zhǎng)邊中電流受到的安培力最大．
根據(jù)安培力公式，MN邊所受的安培力F_MN=B₀IL
PQ邊所受的安培力F_PQ=B₀IL
根據(jù)左手定則，MN、PQ邊所受的安培力同向，此時(shí)列車驅(qū)動(dòng)力的大小F
F=F_MN+F_PQ=2 B₀IL…⑩
由③⑩式聯(lián)立解得：F=

4B   2 0 L2(v1-v2)

R

…（11）
驅(qū)動(dòng)力瞬時(shí)值表達(dá)式是：Ft=2BLi=

4 B 2 0 L2(v1-v2)

R

cos2

π(v1-v2)

d

t
驅(qū)動(dòng)力功率的瞬時(shí)值：P=F_tv₂
所以：P=

2 B 2 0 L2v2(v1-v2)

R

[1+cos

2π(v1-v2)

d

t]
畫(huà)出的驅(qū)動(dòng)力功率隨時(shí)間變化在

2d

v1-v2

時(shí)間內(nèi)的關(guān)系圖線見(jiàn)右圖．
答：
（1）此時(shí)金屬框內(nèi)感應(yīng)電流的大小為

2B0L(v1-v2)

R

，電流的方向由N→M→Q→P→N．
（2）列車勻速行駛S距離的過(guò)程中，矩形金屬線框產(chǎn)生的焦耳熱為

2 B 2 0 L2S(v1-v2)2

Rv2

．
（3）列車勻速行駛時(shí)所獲得的最大驅(qū)動(dòng)力的大小為

2B02L2v2(v1-v2)

R

[1+cos

2π(v1-v2)

d

t]，定性畫(huà)出的驅(qū)動(dòng)力功率隨時(shí)間變化在

2d

v1-v2

時(shí)間內(nèi)的關(guān)系圖線見(jiàn)上．

點(diǎn)評(píng)：本題是電磁學(xué)知識(shí)在科學(xué)技術(shù)中的應(yīng)用，是復(fù)雜的電磁感應(yīng)現(xiàn)象，是高考命題常有的題型．通過(guò)本題的研究可以培養(yǎng)分析問(wèn)題和解決實(shí)際問(wèn)題的能力．