Question

17．如圖，固定的直桿ABC與水平地面成37°角，AB段粗糙，BC段光滑，AB長度l₁=2m，BC段的長度l₂=0.75m．質(zhì)量m=1kg的小環(huán)套在直桿上，在與直桿成α角的恒力F作用下，從桿的底端由靜止開始運(yùn)動(dòng)，當(dāng)小環(huán)到達(dá)B時(shí)撤去F，此后小環(huán)飛離直桿，落地時(shí)的動(dòng)能E_k=20J．（不計(jì)空氣阻力，sin37°=0.6，cos37°=0.8，g取10m/s²）
（1）求小環(huán)運(yùn)動(dòng)到B時(shí)的速度大小v_B；
（2）若夾角α=0°，小環(huán)在桿AB段運(yùn)動(dòng)時(shí)，受到恒定的阻力f=4N，其他條件不變，求F的大��；
（3）若夾角α=37°，小環(huán)在AB段運(yùn)動(dòng)時(shí)，受到阻力f的大小與直桿對(duì)小環(huán)的彈力F_N的大小成正比，即f=kF_N，其中k=0.5，且小環(huán)飛離軌道后，落地時(shí)的動(dòng)能不大于20J，求F的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）分析小環(huán)從B運(yùn)動(dòng)到C至落地的過程，運(yùn)用機(jī)械能守恒定律列式，可求出小環(huán)運(yùn)動(dòng)到B時(shí)的速度大小v_B；
（2）分析小球從A運(yùn)動(dòng)到B的過程，由牛頓第二定律和速度位移關(guān)系公式分別列式，可求出F；
（3）當(dāng)E_k=20J時(shí)F取得最大值，結(jié)合上題的結(jié)果，由牛頓第二定律求出F的最大值．當(dāng)v_C=0時(shí)，F(xiàn)取得最小值．先研究BC段，由機(jī)械能守恒定律求出v_B，再研究AB段，由牛頓第二定律和速度位移關(guān)系公式分別列式求出F的最小值，從而得到F的范圍．

解答 解：（1）B點(diǎn)離地面的高度 h_B=l₁sin37°=2×0.6=1.2m
物體從B點(diǎn)到C至落地的過程中機(jī)械能守恒，則有 $\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$+mgh_B=E_k；
代入數(shù)據(jù)解得 v_B=4m/s
（2）若夾角α=0°時(shí)，對(duì)小球進(jìn)入受力分析得：
  F-f-mgsin37°=ma
又${v}_{B}^{2}$=2al₁，
以上兩式代入數(shù)據(jù)解得 a=4m/s²，F(xiàn)=14N
（3）由題意得：
（a）當(dāng)E_k=20J時(shí)，v_B=4m/s，a=4m/s²，
對(duì)于AB段，由牛頓第二定律得：
  Fcos37°-mgsin37°-k（mgcos37°-Fsin37°）=ma
代入數(shù)據(jù)解得 F=$\frac{140}{11}$N≈12.73N
（b）當(dāng)v_C=0時(shí)，mgl₂sin37°=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
又${v}_{B}^{2}$=2al₁，
解得 v_B=3m/s，a=2.25m/s²．
由牛頓第二定律得：
Fcos37°-mgsin37°-k（mgcos37°-Fsin37°）=ma
解得 F=$\frac{122.5}{11}$≈11.14N
綜上，F(xiàn)的取值范圍為：11.14N＜F≤12.73N．
答：
（1）小環(huán)運(yùn)動(dòng)到B時(shí)的速度大小v_B是4m/s．
（2）F的大小是14N．
（3）F的取值范圍為：11.14N＜F≤12.73N．

點(diǎn)評(píng) 解題關(guān)鍵是合理選擇運(yùn)動(dòng)過程，分析小環(huán)的受力情況和能量轉(zhuǎn)化情況，再利用機(jī)械能守恒定律、牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式分段研究，對(duì)于AB段，也可以根據(jù)動(dòng)能定理列式求F．