Question

【題目】如圖所示,在某豎直平面內(nèi),光滑曲面AB與水平面BC平滑連接于B點(diǎn),BC右端連接內(nèi)壁光滑、半徑r=0.2m的四分之一細(xì)圓管CD,管口D端正下方直立一根勁度系數(shù)為k=100N/m的輕彈簧,彈簧一端固定,另一端恰好與管口D端平齊.一個(gè)質(zhì)量為1kg的小球放在曲面AB上,現(xiàn)從距BC的高度為h=0.6m處?kù)o止釋放小球,它與BC間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5,小球進(jìn)入管口C端時(shí),它對(duì)上管壁有FN=2.5mg的作用力.取重力加速度g=10m/s2.

（1）小球在C處受到的向心力大小;

（2）水平面BC段的長(zhǎng)度；

（3）在壓縮彈簧過(guò)程中小球的最大動(dòng)能Ekm.

Answer 1

【答案】（1）35N（2）0.5m（3）6J

【解析】

（1）通過(guò)受力分析得到豎直方向的合外力即向心力；

（2）由向心力求得速度，再對(duì)AC運(yùn)動(dòng)過(guò)程應(yīng)用動(dòng)能定理即可求解；

（3）根據(jù)速度最大時(shí)受力平衡求得彈簧壓縮量（由彈性勢(shì)能亦可求），再對(duì)下落過(guò)程應(yīng)用動(dòng)能定理即可求解．

（1）小球進(jìn)入管口C端時(shí)，它與圓管上管壁有大小為F=2.5mg的相互作用力，故小球受到的向心力為：F向=2.5mg+mg=3.5mg=3.5×1×10N=35N；
（2）在C點(diǎn)應(yīng)用牛頓第二定律有：；
小球從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)過(guò)程，只有重力、摩擦力做功，故由動(dòng)能定理可得：
mghμmgs＝ ；
所以有： ；
（3）在壓縮彈簧過(guò)程中速度最大時(shí)，合力為零．設(shè)此時(shí)小球離D端的距離為x0，則有kx0=mg
所以，x0＝＝0.1m；
小球下落過(guò)程只有重力、彈簧彈力做功，故機(jī)械能守恒，則由機(jī)械能守恒定律有：
mg(r+x0)+mvC2＝Ekm+Ep；
所以，Ekm＝mg(r+x0)+mvC2Ep=mg(r+x0)+F向rEp＝6J；