Question

如圖所示，水平地面上放置一個質量為m的物體，在與水平方向成θ角的斜向右上方的拉力F的作用下沿水平地面運動，物體與地面間的動摩擦因數(shù)為μ．求：
（1）若物體起動后在拉力F的作用下能始終沿水平面向右運動，拉力F的大小范圍；
（2）若物體受到拉力F的作用后，從靜止開始向右做勻加速直線運動，2s后撤去拉力，已知F=100N、m=10kg、μ=0.5、θ=37°，撤去拉力后物體滑行的時間t；
（3）若物體以恒定加速度a向右做勻加速直線運動，而θ可以改變，則維持這一加速度的拉力F的最小值．（已知sin37°=0.6，cos37°=0.8）．

Answer 1

分析：（1）物體起動后在拉力F的作用下能始終沿水平面向右運動，拉力F的最小值能使其水平分力克服摩擦力，而最大值是其豎直分力不能大于重力．
（2）由牛頓第二定律可以求出拉力作用下的加速度，由此可以求出撤去時物體的速度，在求出撤去后的加速度，由運動學可以求滑行時間
（3）做受力分析，列出牛頓第二定律表達式，變化出拉力與θ的關系式，由數(shù)學知識可以求解．

解答：解：
（1）由題意，拉力F的最小值能使其水平分力克服摩擦力，物體受力分析如圖：

則有：
F_mcosθ=f
又：
f=μ（mg-F_msinθ）
解得F_m=

μmg

cosθ+μsinθ

而最大值是其豎直分力不能大于重力．
故有：
mg=F_Msinθ
解得：
F_M=

mg

sinθ

故F的范圍為：

μmg

cosθ+μsinθ

＜F＜

mg

sinθ

（2）：拉力作用下的加速度為：
a1=

Fcosθ-μ(mg-Fsinθ)

m

帶入數(shù)據(jù)解得：
a1=6m/s2
故2s后的速度為：v=at=12m/s
撤去拉力后物體只受摩擦力，其加速度為：
a2=μg=5m/s2
故其滑行的時間為：
t=

v

a2

=2.4s
（3）：若物體以恒定加速度a向右做勻加速直線運動，則由牛頓第二定律得：
Fcosθ-μ（mg-Fsinθ）=ma
解得：
F=

m(μg+a)

cosθ+μsinθ

由數(shù)學知識知F的最小值為：
F=

m(μg+a)

1+μ2

答：
（1）物體起動后在拉力F的作用下能始終沿水平面向右運動，拉力F的大小范圍為：

μmg

cosθ+μsinθ

＜F＜

mg

1+sinθ

（2）其滑行的時間為2.4s
（3）若物體以恒定加速度a向右做勻加速直線運動，而θ可以改變，則維持這一加速度的拉力F的最小值為：

m(μg+a)

1+μ2

點評：本題重點在于臨界的判定，即什么條件下F由最大和最小值，且涉及數(shù)學函數(shù)求極值，有一定難度．