Question

3．如圖所示，兩根光滑平行金屬導(dǎo)軌固定在傾角為30°的斜面上，導(dǎo)軌間距為L，導(dǎo)軌下端連接一個阻值為R的定值電阻．勻強(qiáng)磁場垂直斜面向上，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B．在斜面上平行斜面固定一個輕彈簧，彈簧勁度系數(shù)為k，彈簧上端與質(zhì)量為m，電阻為r的導(dǎo)體桿相連，桿與導(dǎo)軌垂直且接觸良好．導(dǎo)體桿中點系一光滑細(xì)線，細(xì)線平行斜面，繞過一個定滑輪后懸掛一個質(zhì)量也為m的物塊．初始時用手托著物塊，導(dǎo)體桿保持靜止，細(xì)線拉直，但無拉力．重力加速度為g，導(dǎo)軌電阻不計，釋放物塊后，求：
（1）釋放物塊瞬間導(dǎo)體桿的加速度．
（2）導(dǎo)體桿最終將停止運動，則在此過程中電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱．
（3）導(dǎo)體桿停止運動前，流過電阻R的電荷量．

Answer 1

分析 （1）對導(dǎo)體棒受力分析，利用牛頓第二定律求解即可；
（2）靜止時對導(dǎo)體棒受力分析，通過二力平衡計算彈簧的長度的變化量，再有能量守恒求解；
（3）通過計算求得磁通量的變化，由q=$\frac{△Φ}{R+r}$計算電荷量．

解答 解：（1）初始時，彈簧被壓縮，彈力大小為：kx₁=mgsinθ，
即：kx₁=$\frac{1}{2}$mg
釋放物塊瞬間，安培力為零，對桿和物塊分析有：
mg+kx₁-mgsinθ=2ma   
得：a=$\frac{g}{2}$
（2）由于電磁感應(yīng)消耗能量，桿最終速度為零，安培力為零，細(xì)線拉力T=mg，彈簧處于伸長狀態(tài)，對導(dǎo)體桿，彈力為：
kx₂+mgsinθ=T
得：kx₂=$\frac{1}{2}$mg
得：x₁=x₂=$\frac{mg}{2k}$
則彈簧彈性勢能不變，對物塊、導(dǎo)體桿、彈簧整個系統(tǒng)，由能量守恒得：
mg（x₁+x₂）=mg（x₁+x₂）sinθ+Q   
解得：Q=$\frac{1}{2}$mg（x₁+x₂）=$\frac{{m}^{2}{g}^{2}}{2k}$，Q為整個電路產(chǎn)生的焦耳熱
電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱為：Q_R=$\frac{R}{R+r}$Q=$\frac{R{m}^{2}{g}^{2}}{2k（R+r）}$
（3）流過電阻R上的電荷量為：q=$\frac{△Φ}{R+r}$
而△Φ=BL（x₁+x₂）=$\frac{BLmg}{k}$．
解得：q=$\frac{BLmg}{k（R+r）}$
答：（1）釋放物塊瞬間導(dǎo)體桿的加速度為$\frac{g}{2}$．
（2）導(dǎo)體桿最終將停止運動，則在此過程中電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱為$\frac{R{m}^{2}{g}^{2}}{2k（R+r）}$．
（3）導(dǎo)體桿停止運動前，流過電阻R的電荷量為$\frac{BLmg}{k（R+r）}$．

點評 本題是導(dǎo)體棒在導(dǎo)軌上滑動的類型，分析桿的運動狀態(tài)，確定其受力情況是關(guān)鍵，特別是彈簧長度的變化是難點．對于熱量，往往根據(jù)能量守恒求解．