Question

一名宇航員抵達(dá)一半徑為R的星球表面后，為了測(cè)定該星球的質(zhì)量，做了如下實(shí)驗(yàn)：將一個(gè)小球從該星球表面某位置以初速度v豎直向上拋出，小球在空中運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間后又落回原拋出位置，測(cè)得小球在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，已知萬有引力恒量為G，不計(jì)阻力．試根據(jù)題中所提供的條件和測(cè)量結(jié)果，求：
（1）該星球表面的“重力”加速度g的大��；
（2）該星球的質(zhì)量M；
（3）如果在該星球上發(fā)射一顆圍繞該星球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星，則該衛(wèi)星運(yùn)行的最小周期T為多大？

Answer 1

分析：（1）小球做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可求得該星球表面的重力加速度g；
（2）對(duì)該星球表面上的物體，由牛頓第二定律和萬有引力定律求解該星球的質(zhì)量．
（3）當(dāng)某個(gè)質(zhì)量為m′的衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑等于該星球的半徑R時(shí)，該衛(wèi)星運(yùn)行的周期T最小，則由牛頓第二定律和萬有引力定律求解．

解答：解：（1）由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得：t=

2v

g

解得該星球表面的“重力”加速度的大小    g=

2v

t

（2）質(zhì)量為m的物體在該星球表面上受到的萬有引力近似等于物體受到的重力，則對(duì)該星球表面上的物體，由牛頓第二定律和萬有引力定律得：mg=G

mM

R2

解得該星球的質(zhì)量為            M=

2vR2

Gt

（3）當(dāng)某個(gè)質(zhì)量為m′的衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑等于該星球的半徑R時(shí)，該衛(wèi)星運(yùn)行的周期T最小，則由牛頓第二定律和萬有引力定律G

m′M

R2

=

4π2m′R

T2

解得該衛(wèi)星運(yùn)行的最小周期        T=2π

Rt 2v

答：（1）該星球表面的“重力”加速度g的大小是

2v

t

；
（2）該星球的質(zhì)量M是

2vR2

Gt

；
（3）如果在該星球上發(fā)射一顆圍繞該星球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星，則該衛(wèi)星運(yùn)行的最小周期T為是2π

Rt 2v

．

點(diǎn)評(píng)：重力加速度g是天體運(yùn)動(dòng)研究和天體表面宏觀物體運(yùn)動(dòng)研究聯(lián)系的物理量．本題要求學(xué)生掌握兩種等式：一是物體所受重力等于其吸引力；二是物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)其向心力由萬有引力提供．