某行星的質(zhì)量為M，半徑為R，自轉(zhuǎn)周期為T，已知萬有引力常量為G，試求：
（1）該行星兩極的重力加速度；
（2）該行星“赤道”上的重力加速度；
（3）要從該行星表面發(fā)射一顆質(zhì)量為m0的“近地衛(wèi)星”，至少應(yīng)該補(bǔ)充多少機(jī)械能？
（1）對于放置于行星兩極的質(zhì)量為m的物體，有萬有引力等于重力得出：
G
mM
R2
=mg 
得：g=
GM
R2

（2）對于放置于行星赤道上的質(zhì)量為m的物體，它隨行星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．設(shè)它受到的“地面”支持力為N，則有
G
mM
R2
-N=ma 
其中a=
4π2
T2
R 
N和重力是一對平衡力，所以N=mg′
解以上三式得g′=
GM
R2
-
4π2
T2
R 
（3）衛(wèi)星在赤道上時(shí)，初速度最大，需要補(bǔ)充的機(jī)械能最少．
初速度v1=
2π
T
R 
近地環(huán)繞時(shí)，有G
m0M
R2
=m0
v22
R

需要補(bǔ)充的機(jī)械能△E=
1
2
m0
v22
-
1
2
m0
v21
=
2π2m0R2
T2
-
GMm0
2R

答：（1）行星兩極的重力加速度是
GM
R2
；
（2）該行星“赤道”上的重力加速度是
GM
R2
-
4π2
T2
R；
（3）至少應(yīng)該補(bǔ)充的機(jī)械能為
2π2m0R2
T2
-
GMm0
2R
．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中物理 來源： 題型：閱讀理解

（14分）

 

（1）開普勒行星運(yùn)動(dòng)第三定律指出：行星繞太陽運(yùn)動(dòng)的橢圓軌道的半長軸a的三次方與它的公轉(zhuǎn)周期T的二次方成正比，即，k是一個(gè)對所有行星都相同的常量。將行星繞太陽的運(yùn)動(dòng)按圓周運(yùn)動(dòng)處理，請你推導(dǎo)出太陽系中該常量k的表達(dá)式。已知引力常量為G，太陽的質(zhì)量為M太。

（2）開普勒定律不僅適用于太陽系，它對一切具有中心天體的引力系統(tǒng)（如地月系統(tǒng)）都成立。經(jīng)測定月地距離為3.84×108m，月球繞地球運(yùn)動(dòng)的周期為2.36×106S，試計(jì)算地球的質(zhì)M地。（G=6.67×10-11Nm2/kg2，結(jié)果保留一位有效數(shù)字）

【解析】：（1）因行星繞太陽作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，于是軌道的半長軸a即為軌道半徑r。根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律有

                            ①

    于是有                           ②

即                                ③

（2）在月地系統(tǒng)中，設(shè)月球繞地球運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為R，周期為T，由②式可得

                                ④

解得     M地=6×1024kg                         ⑤

（M地=5×1024kg也算對）

23．【題文】（16分）

     如圖所示，在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心、半徑為R的半圓形區(qū)域內(nèi)，有相互垂直的勻強(qiáng)電場和勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，磁場方向垂直于xOy平面向里。一帶正電的粒子（不計(jì)重力）從O點(diǎn)沿y軸正方向以某一速度射入，帶電粒子恰好做勻速直線運(yùn)動(dòng)，經(jīng)t0時(shí)間從P點(diǎn)射出。

（1）求電場強(qiáng)度的大小和方向。

（2）若僅撤去磁場，帶電粒子仍從O點(diǎn)以相同的速度射入，經(jīng)時(shí)間恰從半圓形區(qū)域的邊界射出。求粒子運(yùn)動(dòng)加速度的大小。

（3）若僅撤去電場，帶電粒子仍從O點(diǎn)射入，且速度為原來的4倍，求粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間。

 

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科目：高中物理 來源： 題型：

質(zhì)量為m1的登月艙連接在質(zhì)量為m2的軌道艙上一起繞月球作圓周運(yùn)動(dòng)，其軌道半徑是月球半徑Rm的3倍。某一時(shí)刻，登月艙與軌道艙分離，軌道艙仍在原軌軌道上運(yùn)動(dòng)，登月艙作一瞬間減速后，沿圖示橢圓軌道登上月球表面，在月球表面逗留一段時(shí)間后，快速啟動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī)，使登月艙具有一合適的初速度，使之沿原橢圓軌道回到脫離點(diǎn)與軌道艙實(shí)現(xiàn)對接。由開普勒第三定律可知，以太陽為焦點(diǎn)作橢圓軌道運(yùn)行的所有行星，其橢圓軌道半長軸的立方與周期的平方之比是一個(gè)常量。另，設(shè)橢圓的半長軸為a，行星質(zhì)量為m，太陽質(zhì)量為M0，則行星的總能量為。行星在橢圓軌道上運(yùn)行時(shí)，行星的機(jī)械能守恒，當(dāng)它距太陽的距離為r時(shí)，它的引力勢能為。G為引力恒量。設(shè)月球質(zhì)量為M，不計(jì)地球及其它天體對登月艙和軌道艙的作用力。求：

（1）登月艙減速時(shí)，發(fā)動(dòng)機(jī)做了多少功？

（2）登月艙在月球表面可逗留多長時(shí)間？

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