Question

20．如圖所示，半徑為r的金屬環(huán)繞通過其直徑的軸OO′，以角速度ω做勻速轉動，勻強磁場的磁感應強度為B．從金屬環(huán)的平面與磁場方向重合時開始計時，如果組成金屬環(huán)材料單位長度的電阻值為R₀，
（1）求環(huán)中產(chǎn)生的感應電動勢
（2）在轉過30°角的過程中，感應電動勢的平均值是多大？流過金屬環(huán)的電量是多少？
（3）在轉過180°角的過程中，環(huán)產(chǎn)生的熱量是多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)感應電動勢最大值E_m=NBSω，從而求解感應電動勢的有效值；
（2）由法拉第電磁感應定律求出感應電動勢的平均值，再由電量表達式，即可求解．
（3）根據(jù)焦耳定律，求解環(huán)產(chǎn)生的熱量

解答 解：（1）感應電動勢最大值E_m=NBSω=Bωπr²，因此感應電動勢的表達式為E=Bωπr²cosωt
（2）圖示位置時穿過線圈的磁通量為：Φ₁=0；
轉過30°時穿過線圈的磁通量為：Φ₂=BSsin30°=$\frac{1}{2}$BS=$\frac{1}{2}$Bπr²，
轉過30°用的時間為：△t=$\frac{△θ}{△ω}$=$\frac{π}{6ω}$，
由法拉第電磁感應定律得感應電動勢的平均值為：E=$\frac{△∅}{△t}$=3Bωr²；
金屬環(huán)電阻R=2πrR₀，
感應電流：I=$\frac{E}{R}$，
電荷量：q=I△t，
解得：q=$\frac{Br}{4{R}_{0}}$；
（3）金屬環(huán)勻速轉動，產(chǎn)生正弦式交變電流，
E_m=BSω=Bπr²ω，
有效值：E_有效=$\frac{\sqrt{2}}{2}$Bωπr²，
轉過180°需要的時間：t=$\frac{θ}{ω}$=$\frac{π}{2ω}$，
在轉過180°角的過程中，環(huán)產(chǎn)生的熱量：Q=$\frac{{E}^{2}}{R}$t，
解得：Q=$\frac{{π}^{2}{B}^{2}{r}^{3}ω}{6{R}_{0}}$；
答：（1）環(huán)中產(chǎn)生的感應電動勢Bωπr²cosωt
（2）在轉過30°角的過程中，感應電動勢的平均值是3Bωr²；流過金屬環(huán)的電量是$\frac{Br}{4{R}_{0}}$；
（3）在轉過180°角的過程中，環(huán)產(chǎn)生的熱量是$\frac{{π}^{2}{B}^{2}{r}^{3}ω}{6{R}_{0}}$

點評 本題綜合考查了交流電瞬時值表達式、電動勢的平均值和電流做功情況，應用法拉第電磁感應定律、歐姆定律、電流定義式、正弦式交變電流最大值與有效值間的關系、電功公式即可正確解題