Question

8．如圖所示，勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，寬度為d，邊界為CD和EF．一電子從CD邊界外側(cè)以速率v₀垂直射入勻強(qiáng)磁場(chǎng)，入射方向與CD邊界間夾角為θ．已知電子的質(zhì)量為m，電荷量為e，為使電子能從磁場(chǎng)的另一側(cè)EF射出，求電子的速率v₀至少多大？若θ角可取任意值，v₀的最小值是多少？

Answer 1

分析 電子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其軌跡恰好與EF邊相切時(shí)，軌跡半徑最小，對(duì)應(yīng)的速度最小．由幾何知識(shí)求出，再牛頓定律求出速度的范圍．運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)，由θ的取值來(lái)確定速度的最小，從而求出半徑的最小值．

解答 解：當(dāng)入射速率v₀很小時(shí)，電子會(huì)在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)動(dòng)一段圓弧后又從CD一側(cè)射出，
速率越大，軌道半徑越大，當(dāng)軌道與邊界EF相切時(shí)，電子恰好不能從EF射出，如圖所示：
電子恰好射出時(shí)，由幾何知識(shí)可得：
r+rcosθ=d                    ①
電子做圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得：ev₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$，
解得：r=$\frac{m{v}_{0}}{eB}$  ②
由①②得：v₀=$\frac{eBd}{m（1+cosθ）}$        ③
故電子要射出磁場(chǎng)，速率至少應(yīng)為：$\frac{eBd}{m（1+cosθ）}$．
由③式可知，θ=0°時(shí)，v₀=$\frac{Bed}{2m}$最小，
由②式知此時(shí)半徑最小，r_min=$\fracragnlru{2}$，
答：為使電子能從磁場(chǎng)的另一側(cè)EF射出，求電子的速率v₀至少為$\frac{eBd}{m（1+cosθ）}$，θ角可取任意值，v₀的最小值是：$\frac{Bed}{2m}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓周運(yùn)動(dòng)的邊界問(wèn)題的求解方法．當(dāng)入射速率v₀很小時(shí)，電子會(huì)在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)動(dòng)一段圓弧后又從CD一側(cè)射出，速率越大，軌道半徑越大，當(dāng)軌道與邊界EF相切時(shí)，電子恰好不能從EF射出．