Question

9．（1）行星繞太陽近似認為做勻速圓周運動，設某行星質量為m，速度為v，行星到太陽的距離為r，行星繞太陽的公轉周期為T，根據(jù)開普勒第三定律、牛頓第二定律與牛頓第三定律，推導萬有引力定律F=G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$；
（2）若地球半徑R=6.4×10⁶m，地球表面重力加速度g取10m/s²，試計算地球第一宇宙速度（以km/s做單位，取兩位有效數(shù)字）．

Answer 1

分析 （1）行星繞太陽能做圓周運動，是由引力提供向心力來實現(xiàn)的．再由開普勒第三定律可推導出萬有引力定律；
（2）第一宇宙速度即為地球表面附近做圓周運動的人造衛(wèi)星的運行速度，可認為其軌道半徑是地球的半徑R，可利用萬有引力提供它做圓周運動的向心力來進行求解．

解答 解：（1）行星繞太陽做勻速圓周運動的向心力為：
$F=m\frac{{v}^{2}}{r}$
行星的線速度：v=$\frac{2πr}{v}$
由以上兩式得：$F=\frac{4{π}^{2}mr}{{T}^{2}}$
不同行星的公轉周期是不同的，F(xiàn)與r的關系式中T應消去，根據(jù)開普勒第三定律：
$\frac{{r}^{3}}{{T}^{2}}=k$
代入上式可得$F=4{π}^{2}k\frac{m}{{r}^{2}}$
說明F∝$\frac{m}{{r}^{2}}$
根據(jù)牛頓第三定律，行星對太陽的引力F′應該與太陽的質量成正比，與行星和太陽之間的距離二次方成反比，即：
F∝$\frac{Mm}{{r}^{2}}$
寫成等式就是：F=$G\frac{Mm}{{r}^{2}}$
（2）衛(wèi)星在地球表面上方繞地球做勻速圓周運動，根據(jù)牛頓第二定律和萬有引力定律有：
$mg=m\frac{{v}^{2}}{R}$
式中R為地球半徑，則v為第一宇宙速度，即$v=\sqrt{gR}=7.9km/s$
答：（1）推導見解答過程；
（2）地球的第一宇宙速度為7.9km/s．

點評 解決本題的關鍵能夠建立正確的模型，運用牛頓第二定律、第三定律、開普勒第三定律進行推導，知道第一宇宙速度的物理意義．