Question

3．如圖所示，空間內(nèi)有方向垂直紙面（豎直面）向里的有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域Ⅰ、Ⅱ，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小未知．區(qū)域Ⅰ內(nèi)有豎直向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)，區(qū)域Ⅱ內(nèi)有水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)，兩區(qū)域內(nèi)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小相等，現(xiàn)有一質(zhì)量m=0.01kg，帶電荷量q=0.01C的帶正電滑塊從區(qū)域Ⅰ左側(cè)與邊界MN左側(cè)相距L=2m的A點(diǎn)以v₀=5m/s的初速度沿粗糙、絕緣的水平面向右運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅰ后，滑塊立即在豎直平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，在區(qū)域Ⅰ內(nèi)運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間后離開磁場(chǎng)落回A點(diǎn)．已知滑塊與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.225，重力加速度g=10m/s²．
（1）求勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E和區(qū)域Ⅰ中磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B₁；
（2）求滑塊從A點(diǎn)出發(fā)到再次落回A點(diǎn)所經(jīng)歷的時(shí)間t；
（3）若滑塊在A點(diǎn)以v₀=9m/s的初速度沿水平面向右運(yùn)動(dòng)，當(dāng)滑塊進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅱ后恰好能做勻速直線運(yùn)動(dòng)，求有界磁場(chǎng)區(qū)域Ⅰ的寬度d及區(qū)域Ⅱ內(nèi)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B₂．

Answer 1

分析 （1）小球進(jìn)入復(fù)合場(chǎng)區(qū)域后，小球立即在豎直平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，說明重力與電場(chǎng)力的大小相等，方向相反；A到N的過程中根據(jù)牛頓第二定律可求出小球到達(dá)N點(diǎn)的速度．小球離開磁場(chǎng)后做平拋運(yùn)動(dòng)，將運(yùn)動(dòng)分解，即可求出下落的高度，然后結(jié)合幾何關(guān)系由于洛倫茲力提供向心力的公式即可求出磁感應(yīng)強(qiáng)度；
（2）小球在AN之間做減速運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)學(xué)的公式求出時(shí)間；粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由周期公式即可求出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，最后求和；
（3）A到N的過程中摩擦力做功，由動(dòng)能定理即可求出小球到達(dá)N點(diǎn)的速度．小球進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅱ后恰好能沿直線運(yùn)動(dòng)，說明小球受到的合外力為0，受力分析即可求出小球的速度，結(jié)合動(dòng)能定理即可求出有界磁場(chǎng)區(qū)域Ⅰ的寬度d及區(qū)域Ⅱ的磁感應(yīng)強(qiáng)${B}_{2}^{\;}$的大小．

解答 解：（1）滑塊在區(qū)域I內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，重力與電場(chǎng)力平衡，則有 mg=qE
解得        $E=\frac{mg}{q}=10V/m$
滑塊在AN間運(yùn)動(dòng)時(shí)，由牛頓第二定律可得a=μg=2.25m/s²
由運(yùn)動(dòng)公式可得 ${v^2}-{v_0}^2=2aL$
代入數(shù)據(jù)得       v=4m/s
平拋運(yùn)動(dòng)過程滿足L=vt₃
$2r=\frac{1}{2}g{t_3}^2$
做圓周運(yùn)動(dòng)滿足 $qv{B_1}=m\frac{v^2}{r}$
聯(lián)立方程求解得B₁=6.4T
（2）滑塊在AN間的時(shí)間   ${t_1}=\frac{{v-{v_0}}}{a}=\frac{4}{9}s$
在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)間  ${t_2}=\frac{πm}{qB1}=\frac{5π}{32}s$
平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間          ${t_3}=\frac{L}{v}=0.5s$
總時(shí)間為                $t={t_1}+{t_2}+{t_3}=（\frac{17}{18}+\frac{5π}{32}）s$
（3）設(shè)滑塊進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度為v，滿足$-μmgL=\frac{1}{2}m{v^2}-\frac{1}{2}m{v_0}^2$
代入數(shù)據(jù)得           $v=6\sqrt{2}m/s$
滑塊在區(qū)域II做直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，合力一定為0，由平衡知$qv{B_2}=\sqrt{2}mg$
解得                   ${B_2}=\frac{5}{3}T$
滑塊離開磁場(chǎng)區(qū)域I時(shí)的速度方向一定與水平成45⁰角．由幾何關(guān)系知$d=\frac{{\sqrt{2}}}{2}r$
當(dāng)滑塊在區(qū)域I中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)有${B_1}qv=\frac{{m{v^2}}}{r}$
解得                   $r=\frac{mv}{{q{B_1}}}=\frac{{15\sqrt{2}}}{16}m$
聯(lián)立得                  $d=\frac{15}{16}m$
答：（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E和區(qū)域Ⅰ中磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小${B}_{1}^{\;}$為6.4T；
（2）滑塊從A點(diǎn)出發(fā)到再次落回A點(diǎn)所經(jīng)歷的時(shí)間t為$（\frac{17}{18}+\frac{5π}{32}）s$；
（3）若滑塊在A點(diǎn)以v₀=9m/s的初速度沿水平面向右運(yùn)動(dòng)，當(dāng)滑塊進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅱ后恰好能做勻速直線運(yùn)動(dòng)，有界磁場(chǎng)區(qū)域Ⅰ的寬度d為$\frac{15}{16}m$及區(qū)域Ⅱ內(nèi)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小${B}_{2}^{\;}$為$\frac{5}{3}T$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，要注意當(dāng)粒子在復(fù)合場(chǎng)中做勻速 圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，粒子受到的電場(chǎng)力與重力平衡．