Question

以豎直向上為y軸正方向的平面直角系xOy，如圖所示．在第一、四象限內(nèi)存在沿x軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)E₁，在第二、三象限內(nèi)存在著沿y軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)E₂和垂直于xOy平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．現(xiàn)有一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電小球從坐標(biāo)原點(diǎn)O以初速度v₀沿與x軸正方向成45°角的方向射出．已知兩電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E₁=E₂=

mg

q

，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．
（1）求小球離開(kāi)O點(diǎn)后第一次經(jīng)過(guò)y軸所用的時(shí)間；
（2）求小球離開(kāi)O點(diǎn)后第三次經(jīng)過(guò)y軸的坐標(biāo)；
（3）若小球從O點(diǎn)以某一初速度沿與x軸正方向成135°角的方向射出且能再次回到O點(diǎn)，則該初速度的大小為多少？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)牛頓第二定律，可求出加速度大小與方向，再由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，即可求解；
（2）根據(jù)電場(chǎng)力與重力平衡，可知，粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律，列式可得，半徑關(guān)系．從而由粒子做平拋運(yùn)動(dòng)，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可得，每次經(jīng)過(guò)y軸的坐標(biāo)，從而即可求解；
（3）根據(jù)粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律與幾何關(guān)系可知，初速度的大小．

解答：解：（1）設(shè)小球在第一象限中的加速度為a，
由牛頓第二定律得

(mg)2+(qE)2

=ma
得到a=

2

g，方向與v₀的方向相反
在第一象限中小球先勻減速運(yùn)動(dòng)再反向勻加速運(yùn)動(dòng)，所以
t₁=

2v0

a

=

2 v0

g

（2）小球第一次經(jīng)過(guò)y軸后，在第二、三象限內(nèi)由qE=mg，電場(chǎng)力與重力平衡，故做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．設(shè)軌跡半徑為R．有
qv₀B=m

mv 2 0

R

得R=

mv0

qB

小球第二次經(jīng)過(guò)y軸的坐標(biāo)
y₁=

2

R=

2 mv0

qB

t時(shí)間后第三次經(jīng)過(guò)y軸，在第一、四象限內(nèi)做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，有
v₀t′=

1

2

2

gt²
得t′=

2 v0

g

小球第二次經(jīng)過(guò)y軸與第三次經(jīng)過(guò)y軸的距離為
△y=

2

v₀t′=

2v 2 0

g

 
小球第三次經(jīng)過(guò)y軸的坐標(biāo)y₂=y₁-△y=

2 mv0

qB

-

2v 2 0

g

（3）若小球沿與x軸正方向成135°射出時(shí)小球的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，有△y′=2

2

R′
即

2v2

g

=2

2

mv

qB

得v=

2 mg

qB

答：（1）則小球離開(kāi)O點(diǎn)后第一次經(jīng)過(guò)y軸所用的時(shí)間

2 v0

g

；
（2）則小球離開(kāi)O點(diǎn)后第三次經(jīng)過(guò)y軸的坐標(biāo)

2 mv0

qB

-

2v 2 0

g

；
（3）若小球從O點(diǎn)以某一初速度沿與x軸正方向成135°角的方向射出且能再次回到O點(diǎn)，則該初速度的大小為

2 mg

qB

．

點(diǎn)評(píng)：考查粒子在電場(chǎng)力作用下做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，在磁場(chǎng)力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，掌握處理的方法與規(guī)律，理解牛頓第二定律與幾何的關(guān)系的應(yīng)用．本題畫(huà)出正確的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵之處．