Question

如圖所示，xoy平面內(nèi)，在y軸左側(cè)某區(qū)域內(nèi)有一個(gè)方向豎直向下，水平寬度為l=2

3

×10-2m，電場(chǎng)強(qiáng)度為E=1.0×10⁴N/C的勻強(qiáng)電場(chǎng)．在y軸右側(cè)有一個(gè)圓心位于x軸上，半徑為r=0.01m的圓形磁場(chǎng)區(qū)域，磁場(chǎng)方向垂直紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B=0.01T，坐標(biāo)為x₀=0.04m處有一垂直于x軸的面積足夠大的熒光屏PQ．今有一束帶正電的粒子從電場(chǎng)左側(cè)沿+x方向射入電場(chǎng)，穿過電場(chǎng)時(shí)恰好通過坐標(biāo)原點(diǎn)，速度大小為v=2×10⁶m/s，方向與x軸成30°角斜向下，若粒子的質(zhì)量為m=1.0×10^-20kg，電量為q=1.0×10^-10C，試求：
（1）粒子射入電場(chǎng)時(shí)的坐標(biāo)位置和初速度；
（2）若圓形磁場(chǎng)可沿x軸移動(dòng)，圓心O′在x軸上的移動(dòng)范圍為（0.01m，+∞），由于磁場(chǎng)位置的不同，導(dǎo)致該粒子打在熒光屏上的位置也不同，試求粒子打在熒光屏上的范圍．

Answer 1

分析：（1）粒子沿AB方向進(jìn)入電場(chǎng)后做類平拋運(yùn)動(dòng)，將射出電場(chǎng)的速度進(jìn)行分解，根據(jù)沿電場(chǎng)方向上的速度，結(jié)合牛頓第二定律求出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，從而得出類平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移和豎直位移，即得出射入電場(chǎng)的坐標(biāo)．射出速度在垂直于電場(chǎng)方向上的速度等于初速度的大小．
（2）隨著磁場(chǎng)向右移動(dòng)熒光屏光點(diǎn)位置逐漸下移，當(dāng)v方向與磁場(chǎng)圓形區(qū)域相切，此后，粒子將打在熒光屏的同一位置．根據(jù)粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的半徑公式，結(jié)合幾何關(guān)系求出粒子打在熒光屏上的范圍．

解答：解：（1）粒子沿AB方向進(jìn)入電場(chǎng)后做類平拋運(yùn)動(dòng)，在O點(diǎn)將v沿x、y方向分解得：
v_x=vcos30°．
v_y=vsin30°
根據(jù)牛頓第二定律a=

qE

m

=

1×10-10×104

10-20

m/s2=1×1014m/s2．
根據(jù)t=

vy

a

=

2×106× 1 2

1×1014

s=1×10-8s．
則x=vxt=2×106×

3

2

×1×10-8m=

3

×10-2m．
y=

vy2

2a

=

(1×106)2

2×1014

m=5×10-3m．
則粒子射入電場(chǎng)時(shí)的坐標(biāo)位置為(-

3

×10-2m，5×10-3m)．
初速度v0=vx=2×106×

3

2

m/s=

3

×106m/s．
（2）洛侖茲力提供向心力，則qvB=m

v2

R

得：R=

mv

qB

=2×10-2m
由幾何關(guān)系知此時(shí)出射位置為D點(diǎn)，軌跡如圖，熒光屏最高端的縱坐標(biāo)為：L1=2rtan30°=

2 3

3

r≈1.15m
隨著磁場(chǎng)向右移動(dòng)熒光屏光點(diǎn)位置逐漸下移，當(dāng)v方向與磁場(chǎng)圓形區(qū)域相切，此后，粒子將打在熒光屏的同一位置．
其最低的縱坐標(biāo)為：L2=4rtan30°=

4 3

3

r≈2.31m．
答：（1）粒子射入電場(chǎng)時(shí)的坐標(biāo)位置為(-

3

×10-2m，5×10-3m)．初速度為

3

×106m/s．
（2）粒子打在熒光屏上的范圍為[-2.31m，1.15m]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查粒子在電場(chǎng)中類平拋運(yùn)動(dòng)和在磁場(chǎng)中的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，對(duì)學(xué)生幾何能力要求較高，能夠找出問題的臨界情況是解決本題的關(guān)鍵．