Question

如圖甲所示，相距為L(zhǎng)的光滑平行金屬導(dǎo)軌水平放置，導(dǎo)軌一部分處在以O(shè)O′為右邊界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直導(dǎo)軌平面向下，導(dǎo)軌右側(cè)接有定值電阻R，導(dǎo)軌電阻忽略不計(jì)．在距邊界OO′也為L(zhǎng)處垂直導(dǎo)軌放置一質(zhì)量為m、電阻r的金屬桿ab．
（1）若ab桿在恒力作用下由靜止開(kāi)始向右運(yùn)動(dòng)3L距離，其速度一位移的關(guān)系圖象如圖乙所示（圖中所示量為已知量）．求此過(guò)程中電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱Q_R及ab桿在剛要離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)的加速度大小a．
（2）若ab桿固定在導(dǎo)軌上的初始位置，使勻強(qiáng)磁場(chǎng)保持大小不變，繞OO′軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)．若從磁場(chǎng)方向由圖示位置開(kāi)始轉(zhuǎn)過(guò)

π

2

的過(guò)程中，電路中產(chǎn)生的焦耳熱為Q₂．則磁場(chǎng)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω大小是多少？

Answer 1

分析：（1）運(yùn)用動(dòng)能定理分別研究ab桿在位移L到3L的過(guò)程及位移為L(zhǎng)的兩個(gè)過(guò)程，列式求解電熱Q₁．推導(dǎo)出安培力的表達(dá)式，根據(jù)牛頓第二定律求加速度．
（2）當(dāng)磁場(chǎng)按B_t=Bcos t規(guī)律變化時(shí)，閉合回路的磁通量Φ的變化規(guī)律為Φ=Bcosωt=BL²cosωt，電動(dòng)勢(shì)最大值為E_m=BωL²，當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度由B減小到零，根據(jù)焦耳定律求ω的大�。�

解答：解：（1）ab桿離起始位置的位移從L到3L的過(guò)程中，由動(dòng)能定理可得：
F(3L-L)=

1

2

m(

v

2 2

-

v

2 1

)
ab桿在磁場(chǎng)中由起始位置發(fā)生位移L的過(guò)程，根據(jù)功能關(guān)系，恒力F做的功等于ab桿增加的動(dòng)能與回路產(chǎn)生的焦耳熱之和，則有：
FL=

1

2

m

v

2 1

+Q總
聯(lián)立解得：Q總=

m( v 2 2 -3 v 2 1 )

4

，
R上產(chǎn)生熱量為：QR=

Rm( v 2 2 -3 v 2 1 )

4(R+r)

ab桿剛要離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)，水平方向上受安培力F_總和恒力F作用，
安培力為：F安=

B2L2v1

R+r

由牛頓第二定律可得：F-F_安=ma
解得：a=

v 2 2 - v 2 1

4L

-

B2L2v1

m(R+r)

（2）磁場(chǎng)旋轉(zhuǎn)時(shí)，可等效為矩形閉合電路在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中反方向勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，所以閉合電路中產(chǎn)生正弦式電流，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的峰值為：Em=BSω=BL2ω
有效值為：E=

Em

2

，Q2=

E2

R+r

?

T

4

而T=

2π

ω

  
得：ω=

4Q2(R+r)

πB2L4

答：（1）此過(guò)程中電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱QR=

Rm( v 2 2 -3 v 2 1 )

4(R+r)

ab桿在剛要離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)的加速度大小a=

v 2 2 - v 2 1

4L

-

B2L2v1

m(R+r)

．
（2）若ab桿固定在導(dǎo)軌上的初始位置，使勻強(qiáng)磁場(chǎng)保持大小不變，繞OO′軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)．若從磁場(chǎng)方向由圖示位置開(kāi)始轉(zhuǎn)過(guò)

π

2

的過(guò)程中，磁場(chǎng)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為

4Q2(R+r)

πB2L4

．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵是運(yùn)用動(dòng)能定理、牛頓第二定律、焦耳定律等力學(xué)和電路規(guī)律研究電磁感應(yīng)現(xiàn)象．對(duì)于正弦交變電流，要有有效值求電熱．