Question

19．如圖所示，在傾角為30°、高為h的斜面頂端，將一個小球以一定初速度沿水平方向拋出．設小球在空中飛行到第一落點時的位移與水平方向的夾角為α，速度與水平方向的夾角為β，則下列判斷正確的是（　�。�

• A． 若初速度v=$\sqrt{2gh}$，則一定有α＜β
• B． 若初速度v=$\sqrt{2gh}$，則一定有α＞30°
• C． 若初速度v=$\sqrt{3gh}$，則一定有β＞30°
• D． 若初速度v＜$\sqrt{\frac{3}{2}gh}$，則一定有tanβ=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 小球做的平拋運動，在水平方向上是勻速直線運動，在豎直方向上是自由落體運動，根據(jù)平拋運動的規(guī)律分別求出夾角α和β的正切值的大小，進而比較夾角α和β的關(guān)系．

解答 解：若小球剛第一次剛好落在斜面底端，根據(jù)$h=\frac{1}{2}g{t}^{2}$得：t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$，則初速度${v}_{0}=\frac{\sqrt{3}h}{t}=\sqrt{\frac{3}{2}gh}$，
A、v=$\sqrt{2gh}$＞$\sqrt{\frac{3}{2}gh}$，則小球?qū)⒙涞剿�平面上，位移與水平方向的夾角α的正切值為tanα=$\frac{y}{x}=\frac{\frac{1}{2}g{t}^{2}}{{v}_{0}t}=\frac{gt}{2{v}_{0}}$，
速度與水平方向的夾角β的正切值為tanβ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}=\frac{gt}{{v}_{0}}$，所以tanβ=2tanα，所以一定是α＜β，故A正確；
B、若初速度v=$\sqrt{2gh}$，此時的tanα=$\frac{y}{x}=\frac{h}{{v}_{0}t}=\frac{h}{\sqrt{2gh}\sqrt{\frac{2h}{g}}}=\frac{1}{2}$，所以α＜30°，故B錯誤；
C、由h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，可得t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$，
所以此時的tanβ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}=\frac{gt}{{v}_{0}}=\frac{g\sqrt{\frac{2h}{g}}}{\sqrt{3gh}}=\frac{\sqrt{6}}{3}＞\frac{\sqrt{3}}{3}$，β＞30°，故C正確；
D、若初速度v＜$\sqrt{\frac{3}{2}gh}$，則小球落在斜面上，
此時速度與水平方向的夾角β的正切值為tanβ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}=\frac{{v}_{y}t}{{v}_{0}t}=\frac{2y}{x}$，
由于此時的小球落在斜面上，所以$\frac{y}{x}$=tan30°，
所以tanβ=2tan30°=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，故D正確．
故選：ACD

點評 解決本題的關(guān)鍵就是求解夾角α和β的正切值，但是在比較它們之間的關(guān)系的時候，計算量比較大，應用的數(shù)學知識較多，難度較大．