Question

17．小船在靜水中的速度為4m/s，河水的流速為3m/s，河寬200m，求：
（1）若要小船以最短時間過河，開船方向怎樣？最短時間為多少？小船在河水中實際行駛距離是多大？
（2）若要小船以最短距離過河，船頭應指向什么方位？過河時間為多少？

Answer 1

分析 （1）當船在垂直于河岸方向上的速度最大時，渡河時間最短，即為船頭始終指向河對岸時，時間最短．用運動學公式即可得知渡河的最短時間，船還隨河水向下運動，求出船隨河水向下運動的位移，即可得知船的實際位移．
（2）船垂直渡河時船的航程最短，此時船頭要指向上游，并且沿河岸方向上的分量大小與水流的速度大小相等，對兩個速度進行合成，利用運動學公式即可求得渡河時間．

解答 解：（1）船渡河時間最短，就是在垂直于河岸方向上的速度最大，即為讓船頭始終指向對岸，渡河時間為：
t_min=$\frac8oeu0m2{{v}_{c}}$=$\frac{200}{4}$=50s
船沿河流方向上的位移為：s=v_s•t_min=3×50=150m
船經過的位移為：x=$\sqrt{20{0}^{2}+15{0}^{2}}$=250m
（2）要使船航程最短，即為讓船垂直河岸渡河，船航行的實際速度垂直于河岸，如圖所示
設船在靜水中的速度方向與河岸間的夾角為θ，船在靜水中的速度沿河岸上的分量大小與水流的速度大小相等，方向相反，有：v_靜•cosθ=v_水
即為：cosθ=$\frac{3}{4}$得：θ=arccos$\frac{3}{4}$
即為船頭指向上游，與河岸間的夾角為arccos$\frac{3}{4}$
此時合速度為：v_合=$\sqrt{{4}^{2}-{3}^{2}}$=$\sqrt{7}$m/s
渡河時間為：t=$\frac{200}{7}\sqrt{7}$s
答：（1）若要小船以最短時間過河，船頭應始終指向河對岸，最短時間為50s，小船在河水中實際行駛距離是250m；
（2）若要小船以最短距離過河，船頭應與河岸間的夾角為arccos$\frac{3}{4}$，過河時間為$\frac{200}{7}\sqrt{7}$s．

點評 該題通過渡河的模型考察了運動的合成與分解，關于渡河問題，應注意幾種渡河方式，一是垂直渡河，此時渡河位移最短，但是所用時間不是最短的，此種情況要求船的合速度與河岸垂直，二是船頭始終指向對岸的渡河，此種情況下渡河時間最短，但是渡河位移不是最短；關于渡河問題，還要會判斷能否垂直渡河，其條件是船在靜水中的速度大小要大于河水流動的速度大小．