Question

如圖1所示，圖的右側(cè)MN為一豎直放置的熒光屏，O為它的中點(diǎn)，OO′與熒光屏垂直，且長(zhǎng)度為l．在MN的左側(cè)空間內(nèi)存在著方向水平向里的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)大小為E．圖2是從甲圖的左邊去看熒光屏得到的平面圖，在熒光屏上以O(shè)為原點(diǎn)建立如圖的直角坐標(biāo)系．一細(xì)束質(zhì)量為m、電荷為q的帶電粒子以相同的初速度v₀從O′點(diǎn)沿O′O方向射入電場(chǎng)區(qū)域．粒子的重力和粒子間的相互作用都可忽略不計(jì)．
（1）若再在MN左側(cè)空間加一個(gè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)，使得熒光屏上的亮點(diǎn)恰好位于原點(diǎn)O處，求這個(gè)磁場(chǎng)的磁感強(qiáng)度的大小和方向．
（2）如果磁感強(qiáng)度的大小保持不變，但把方向變?yōu)榕c電場(chǎng)方向相同，則熒光屏上的亮點(diǎn)位于圖中A點(diǎn)處，已知A點(diǎn)的縱坐標(biāo) y=

3

3

l，求它的橫坐標(biāo)的數(shù)值．

Answer 1

分析：（1）亮點(diǎn)恰好位于原點(diǎn)O處，表明電子所受的電場(chǎng)力與洛倫茲力大小相等，寫出力的平衡方程，代入數(shù)據(jù)即可求得磁感應(yīng)強(qiáng)度；
（2）只在磁場(chǎng)作用下，電子在zOy平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，畫出運(yùn)動(dòng)的軌跡，根據(jù)洛倫茲力提供向心力，求出半徑的表達(dá)式，再結(jié)合圖象，找出半徑對(duì)應(yīng)的幾何關(guān)系，列出方程，即可解題．

解答：解：（1）亮點(diǎn)恰好位于原點(diǎn)O處，表明粒子所受的電場(chǎng)力與洛倫茲力大小相等，電子做勻速直線運(yùn)動(dòng)qE=qv₀B…①
解得B=

E

v0

  …②
由左手定則判定磁場(chǎng)方向豎直向上．
（2）以O(shè)O′方向?yàn)閦軸正方向，與x、y組成空間直角坐標(biāo)系．磁場(chǎng)改變后，粒子在yoz平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)時(shí)勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌跡如圖2所示．設(shè)圓半徑為R，根據(jù)幾何關(guān)系：
R²-l²=（R-y）²
由于y=

3

3

l，可解出R=

2 3

3

l，可知θ=60°
粒子沿x方向的分運(yùn)動(dòng)是初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，時(shí)間t=

T

6

=

πm

3qB

x=-

1

2

at²=-

1

2

qE

m

（

πm

3qB

）²=-

π2mv02

18qE

答：（1）磁場(chǎng)的磁感強(qiáng)度的大小

E

v0

方向豎直向上；
（2）它的橫坐標(biāo)的數(shù)值-

π2mv02

18qE

．

點(diǎn)評(píng)：該題考察了帶電粒子在方向隨時(shí)間作周期性變化的磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，此題不但要求學(xué)生要熟練的應(yīng)用帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑公式和周期公式，還要求要有較強(qiáng)的對(duì)物體運(yùn)動(dòng)的分析能力，該題關(guān)鍵是找出磁場(chǎng)變化的周期和粒子圓周運(yùn)動(dòng)的周期的關(guān)系．正確的繪制出粒子的軌跡圖，對(duì)解決問(wèn)題有非常大的幫助．