Question

如圖所示，質(zhì)量為M=0.7kg的靶盒位于光滑水平導(dǎo)軌上．在O點(diǎn)時(shí)，恰能靜止，每當(dāng)它離開O點(diǎn)時(shí)便受到一個(gè)指向O點(diǎn)的大小恒為F=50N的力．P處有一固定的發(fā)射器，它可根據(jù)需要瞄準(zhǔn)靶盒．每次發(fā)射出一顆水平速度v=50m/s，質(zhì)量m=0.10kg的球形子彈（它在空中運(yùn)動(dòng)過程中不受任何力的作用）．當(dāng)子彈打入靶盒后，便留在盒內(nèi)不反彈也不穿出．開始時(shí)靶盒靜止在O點(diǎn)．今約定，每當(dāng)靶盒停在或到達(dá)O點(diǎn)時(shí)，都有一顆子彈進(jìn)入靶盒內(nèi)．
（1）當(dāng)?shù)谌�顆子彈進(jìn)入靶盒后，靶盒離開O點(diǎn)的最大距離為多少？第三顆子彈從離開O點(diǎn)到又回到O點(diǎn)經(jīng)歷的時(shí)間為多少？
（2）若P點(diǎn)到O點(diǎn)的距離為S=0.20m，問至少應(yīng)發(fā)射幾顆子彈后停止射擊，才能使靶盒來回運(yùn)動(dòng)而不會(huì)碰到發(fā)射器？

Answer 1

【答案】分析：（1）、第一顆子彈進(jìn)入靶盒的過程中，動(dòng)量是守恒的，用動(dòng)量守恒定律求出第一顆子彈和靶盒的共同速度v₁，之后第一顆子彈和靶盒在力F的作用下做勻減速運(yùn)動(dòng)，速度為零后做反方向運(yùn)動(dòng)，再回到O點(diǎn)，此時(shí)接收第二顆子彈，在接收第二顆子彈的過程中，整體動(dòng)量守恒，由動(dòng)量守恒定律可知，此時(shí)的速度為零．用求第一顆子彈進(jìn)入靶盒的方法求出第三課子彈射入靶盒后系統(tǒng)的共同速度V₃，由動(dòng)能定理求出三顆子彈和靶盒共同向右的位移S₃，由牛頓第二定律求出第三顆子彈從離開O點(diǎn)到又回到O點(diǎn)經(jīng)歷的時(shí)間t．
（2）、由第一問的分析可知，當(dāng)靶盒接收奇數(shù)顆子彈時(shí)，會(huì)靜止于O點(diǎn)，靶盒接收偶數(shù)顆子彈時(shí)，靶盒和子彈才會(huì)在力F的作用下向右作勻減速運(yùn)動(dòng)，由動(dòng)量守恒可知，隨著子彈數(shù)的增加，靶盒和子彈開始向右運(yùn)動(dòng)的速度變小，所以離開O點(diǎn)最大距離也就變小，當(dāng)最大距離小于0.2m時(shí)，就不會(huì)碰到發(fā)射器．運(yùn)用動(dòng)量守恒定律和動(dòng)能定理可求出當(dāng)?shù)趲最w子彈射入靶盒后，不會(huì)和發(fā)射器碰撞．
解答：解：（1）第一顆子彈進(jìn)入靶盒過程，系統(tǒng)動(dòng)量守恒，設(shè)射入后獲得速度v₁，則有mv=（M+m）v₁
得：…①
由于恒力作用又回到O點(diǎn)的過程，F(xiàn)做功為零，所以靶盒回到O點(diǎn)時(shí)，速度大小仍為v₁，但方向相反．第二顆子彈射靶后，設(shè)速度為v₂，
則有：mv-（M+m）v₁=（M+2m）v₂=0…②
當(dāng)?shù)谌�顆子彈射入后，設(shè)靶盒的速度為v₃，則有mv=（M+3m）v₃
得：…③
此后靶盒克服F向右運(yùn)動(dòng)，至速度減為零時(shí)，離開O點(diǎn)的距離最大，設(shè)為S₃，由動(dòng)能定理有
…④
…⑤
由③、⑤式代入數(shù)據(jù)得S₃=0.25m…⑥
與第一顆子彈射入后的過程類似，第三顆子彈返回O點(diǎn)時(shí)速度大小仍為v₃，但方向左．設(shè)這一過程中加速度為a，往返時(shí)間為t．
由牛頓第二定律    …⑦
由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，有-v₃=v₃-at…⑧
由③、⑦、⑧式代入數(shù)據(jù)得t=0.2s…⑨
（2）由以上計(jì)算可見，每當(dāng)奇數(shù)顆子彈射入靶后，靶都會(huì)開始運(yùn)動(dòng)，而偶數(shù)顆子彈射入靶后靶盒都會(huì)停止運(yùn)動(dòng)，所以射入子彈數(shù)必須為奇數(shù)，才能使停止射擊后，靶盒能往復(fù)運(yùn)動(dòng)，設(shè)為n顆，
則：mv=（M+nm）v_n…⑩
…（11）
由⑩、（11）代入數(shù)據(jù)得n＞5.5  取n=7（顆）
答：（1）當(dāng)?shù)谌�顆子彈進(jìn)入靶盒后，靶盒離開O點(diǎn)的最大距離為0.25m，第三顆子彈從離開O點(diǎn)到又回到O點(diǎn)經(jīng)歷的時(shí)間為0.2s．
（2）若P點(diǎn)到O點(diǎn)的距離為S=0.20m，問至少應(yīng)發(fā)射7顆子彈后停止射擊，才能使靶盒來回運(yùn)動(dòng)而不會(huì)碰到發(fā)射器．
點(diǎn)評(píng)：本題要求我們要有較強(qiáng)的對物體運(yùn)動(dòng)的分析能力，要能分析出當(dāng)有奇數(shù)顆子彈打入靶盒時(shí)，靶盒是會(huì)靜止在O點(diǎn)的，偶數(shù)顆子彈打入靶盒時(shí)，靶盒和子彈會(huì)一起向右做勻減速運(yùn)動(dòng)，并知道，隨著子彈的增加，向右運(yùn)動(dòng)的最大距離也會(huì)隨之減�。�在整個(gè)過程中，要注意分析動(dòng)量守恒的條件（合外力為零或內(nèi)力遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于外力時(shí)），綜合運(yùn)用動(dòng)量守恒定律和動(dòng)能定理來解答．