Question

4．人類(lèi)實(shí)現(xiàn)登月夢(mèng)想，是從測(cè)算地月質(zhì)檢的距離開(kāi)始；我國(guó)成功發(fā)射的“嫦娥三號(hào)”探測(cè)器，完美著陸月球虹灣地區(qū)．已知地球半徑為R，地球表面重力加速度為g，月球表面的重力加速度為$\frac{1}{6}$g，月球半徑為R′，月球繞地球運(yùn)動(dòng)的周期為T(mén)，引力常量為G，不計(jì)地球，月球自傳的影響，求：
（1）地月之間的距離為多少？
（2）月球的質(zhì)量為多少？

Answer 1

分析 （1）月球繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)，萬(wàn)有引力提供向心力，由牛頓第二定律可以求出地月間的距離．
（2）萬(wàn)有引力等于重力，應(yīng)用萬(wàn)有引力公式可以求出月球的質(zhì)量．

解答 解：（1）地球表面的物體受到的重力等于萬(wàn)有引力，即：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg，
月球繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)，萬(wàn)有引力提供向心力，由牛頓第二定律得：G$\frac{Mm′}{{r}^{2}}$=m′$（\frac{2π}{T}）^{2}$r，
解得：r=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$，地月間的距離：h=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$-R；
（2）月球表面的物體受到的重力等于萬(wàn)有引力，即：G$\frac{Mm}{R{′}^{2}}$=m×$\frac{1}{6}$g，
解得月球質(zhì)量：M=$\frac{gR{′}^{2}}{6G}$；
答：（1）地月之間的距離為$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$-R；
（2）月球的質(zhì)量為$\frac{gR{′}^{2}}{6G}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了萬(wàn)有引力定律的應(yīng)用，知道萬(wàn)有引力等于重力、萬(wàn)有引力提供向心力，應(yīng)用萬(wàn)有引力公式與牛頓第二定律可以解題．