Question

【題目】如圖所示，AB、CD間的區(qū)域有豎直向上的勻強(qiáng)電場，在CD的右側(cè)有一與CD相切于M點(diǎn)的圓形有界勻強(qiáng)磁場，磁場方向垂直于紙面．一帶正電粒子自O點(diǎn)以水平初速度v0正對(duì)P點(diǎn)進(jìn)入該電場后，從M點(diǎn)飛離CD邊界，再經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)后又從N點(diǎn)垂直于CD邊界回到電場區(qū)域，并恰能返回O點(diǎn)．已知OP間距離為d，粒子質(zhì)量為m，電荷量為q，電場強(qiáng)度大小，不計(jì)粒子重力．試求：

(1)M、N兩點(diǎn)間的距離

(2)磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小和圓形勻強(qiáng)磁場的半徑

(3)粒子自O點(diǎn)出發(fā)到回到O點(diǎn)所用的時(shí)間

Answer 1

【答案】（1） （2）； （3）

【解析】（1）粒子在電場中只受豎直向上的電場力作用，加速度；
粒子從O到M做類平拋運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 ，故；
粒子在M點(diǎn)的豎直分速度vy＝at1＝v0，所以，粒子在M點(diǎn)的速度v′=2v0；
粒子從M點(diǎn)到N點(diǎn)無外力做功，速度不變，故粒子在N點(diǎn)的速度為v′=2v0，所以，粒子從N到O做類平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，
故由類平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可知，所以，M、N兩點(diǎn)間的距離MN＝MP+NP＝ ；
（2）粒子從N點(diǎn)垂直于CD邊界回到電場區(qū)域，故粒子進(jìn)入磁場時(shí)速度方向與水平方向的夾角θ＝arctan＝60°，離開磁場時(shí)的速度方向水平向左，故可作出帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，如圖所示：

；
那么，由幾何關(guān)系可得：粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑R有關(guān)系式：Rcos60°+R＝MN＝d，所以，R＝d；
那么，由粒子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力做向心力可得： ，所以， ；
由幾何關(guān)系可知：粒子在磁場中轉(zhuǎn)過的中心角為240°，那么，入射點(diǎn)和出射點(diǎn)對(duì)應(yīng)的磁場中心角為60°，所以，磁場半徑R′＝2Rcos30°＝d；
（3）粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；
粒子離開磁場進(jìn)入電場的過程做勻速直線運(yùn)動(dòng)，位移s＝R′R′cos60°＝d，所以，運(yùn)動(dòng)時(shí)間；
所以，粒子自O點(diǎn)出發(fā)到回到O點(diǎn)所用的時(shí)間t＝t1+t2+t3+t4＝