Question

11．一半徑為R、密度均勻的自行旋轉(zhuǎn)的行星，其赤道處的重力加速度為極地處重力加速度的n倍（n＜1）．求該行星的同步衛(wèi)星距離地面的高度．

Answer 1

分析 設行星的質(zhì)量為M，自轉(zhuǎn)角速度為ω，其極地處的重力加速度為g，對質(zhì)量為m的物體處于極地以及赤道時，根據(jù)萬有引力定律列式，設同步衛(wèi)星的質(zhì)量為m₁，距離地面的高度為h，根據(jù)萬有引力提供向心力列式，聯(lián)立方程求解即可．

解答 解：設行星的質(zhì)量為M，自轉(zhuǎn)角速度為ω，其極地處的重力加速度為g，對質(zhì)量為m的物體處于極地以及赤道時，根據(jù)萬有引力定律得：
$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$，
$G\frac{Mm}{{R}^{2}}-mmg=m{ω}^{2}R$，
設同步衛(wèi)星的質(zhì)量為m₁，距離地面的高度為h，根據(jù)萬有引力提供向心力得：
$G\frac{M{m}_{1}}{{（R+h）}^{2}}={m}_{1}{ω}^{2}（R+h）$，
由上述三式解得h=$（\root{3}{\frac{1}{1-n}}-1）R$
答：該行星的同步衛(wèi)星距離地面的高度為$（\root{3}{\frac{1}{1-n}}-1）R$．

點評 本題主要考查了萬有引力提供向心力公式的直接應用，注意在極地處，萬有引力等于重力，難度適中．