Question

如圖所示，電荷量為e、質量為m的質子從坐標原點O處沿xOy平面射入第二象限內的各個不同方向，射入時的速度大小均為v₀．現在某一區(qū)域內加一方向向外且垂直于xOy平面的勻強磁場，磁感應強度大小為B，若這些質子穿過磁場后都能垂直地射到與y軸平行的熒光屏PQ上，不計質子重力．求：
（1）質子穿過y軸時離坐標原點O的最大距離；
（2）質子打到熒光屏上范圍的長度；
（3）所加磁場區(qū)域的最小面積．

Answer 1

分析：（1）從第二象限射入的質子，速度的大小相同，速度的方向（與x軸的負方向）分布在0°到90°的范圍內，沿x軸負方向射入的質子的偏轉角最大，經過y軸上的點距O點最遠．經分析可知，此距離為質子運動軌跡半徑的2倍．
（2）作出平行于x軸入射的質子軌跡和垂直于x軸入射的質子的軌跡，兩個電子的運動半徑相同，通過幾何關系可知質子打到熒光屏上的長度等于軌跡的半徑．
（3）結合平行于x軸射入的質子和垂直于x軸方向射入的質子的軌跡，結合幾何關系可得知磁場最小面積時的圖形，從而可得出最小面積．

解答：解：（1）設質子在磁場中運動的半徑為R，由牛頓第二定律得：ev₀B=m

v 2 0

R

得：R=

mv0

eB

沿x軸負方向射入的質子的偏轉角最大，穿過y軸時離坐標原點O的距離最大為：y_max=2R=

2mv0

eB

．
（2）如圖所示，初速度沿x軸負方向的質子沿弧OA運動到熒光屏MN上的P點；初速度沿y軸正方向的質子沿弧OC運動到熒光屏MN上的Q點；由幾何知識可得：
PQ=R=

mv0

eB

．
（3）取與x軸負方向成θ角的方向射入的質子為研究對象，其射出磁場的點為E（x，y），因其射出后能垂直打到屏MN上，故有：
  x=Rsinθ
  y=R+Rcosθ
即：x²+（y-R）²=R²
又因為質子沿x軸正方向射入時，射出的邊界點為A點；沿y軸正方向射入時，射出的邊界點為C點，故所加最小面積的磁場的邊界是以（0，R）為圓心、R為半徑的圓的一部分，如圖中實線圓弧所圍區(qū)域，所以磁場范圍的最小面積為：S=

3

4

πR2+R²-

1

4

πR2=（

π

2

+1）(

mv0

eB

)2
答：
（1）質子穿過y軸時離坐標原點O的最大距離是

2mv0

eB

；
（2）質子打到熒光屏上范圍的長度是

mv0

eB

；
（3）所加磁場區(qū)域的最小面積為（

π

2

+1）(

mv0

eB

)2．

點評：本題在審題時要關注以下兩點：
（1）從第一象限射入的質子，速度的大小相同，速度的方向（與x軸的正方向）分布在0°到90°的范圍內．
（2）質子穿過磁場后都能垂直地射到MN光屏上，要利用好“垂直”這個條件．