Question

（2011?廈門模擬）如圖所示，一面積為S單匝圓形金屬線圈與阻值為R的電阻連結(jié)成閉合回路，不計(jì)圓形金屬線圈及導(dǎo)線的電阻．線圈內(nèi)存在一個(gè)方向垂直紙面向內(nèi)、磁感應(yīng)強(qiáng)度均勻增加且變化率為k的磁場B_t．電阻兩端并聯(lián)一對平行金屬板M、N，N板右側(cè)xOy坐標(biāo)系（坐標(biāo)原點(diǎn)O在N板的下端）的第一象限內(nèi)，有垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場，磁場邊界OA和y軸的夾角∠AOy=45°，AOx區(qū)域?yàn)闊o場區(qū)．在靠近M板處的P點(diǎn)由靜止釋放一質(zhì)量為m，帶電量為+q的粒子（不計(jì)重力），經(jīng)過N板的小孔，從Q（0，a）點(diǎn)垂直y軸進(jìn)入第I象限，經(jīng)OA上某點(diǎn)離開磁場，最后垂直x軸離開第I象限．求：
（1）平行金屬M(fèi)N獲得的電壓U；
（2）yOA區(qū)域勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B；
（3）若改變磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小，帶電粒子進(jìn)入磁場偏轉(zhuǎn)后能打到N板的右側(cè)，設(shè)粒子與N板碰撞前后電量保持不變并以相同的速率反彈，不計(jì)粒子與N板碰撞的作用時(shí)間，則帶電粒子在磁場中運(yùn)動的極限時(shí)間是多少？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，求出閉合電路的電動勢即平行金屬M(fèi)N獲得的電壓U；
（2）正確畫出粒子運(yùn)動的軌跡圖，根據(jù)幾何關(guān)系找出粒子運(yùn)動 的半徑的大小，代人公式求得磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度；
（3）當(dāng)r′為無窮小，經(jīng)過n個(gè)半圓運(yùn)動，最后一次打到O點(diǎn)．

解答：解：（1）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，閉合電路的電動勢為：E=

△φ

△t

=

△B

△t

?S=kS①
因MN與電阻并聯(lián)，故MN獲得的電壓：U=U_R=E=kS②
（2）帶電粒子在MN間做勻加速直線運(yùn)動，有：qU=

1

2

mv 2③
帶電粒子進(jìn)入磁場區(qū)域運(yùn)動軌跡如圖所示，
有：qvB=m

v 2

r

④
由幾何關(guān)系得：r+rtan45°=a⑤
由②③④⑤得：B=

2

a

2mks q

⑦
（3）設(shè)粒子運(yùn)動圓周半徑為r′，r′=

mv

qB

，當(dāng)r′越小，最后一次打到N板的點(diǎn)的越靠近O點(diǎn)，在磁場中圓周運(yùn)動累積路越大，時(shí)間越長，當(dāng)r′為無窮小，經(jīng)過n個(gè)半圓運(yùn)動，最后一次打到O點(diǎn)，有：n=

a

2r′

⑧
圓周運(yùn)動周期：T=

2π?r′

v

⑨
最長的根限時(shí)間：tm=n

T

2

⑨
由②③⑧⑨⑩式得：tm=

π?a

2v

=

π?a

2

m 2qkS

⑩
答：（1）平行金屬M(fèi)N獲得的電壓kS；（2）yOA區(qū)域勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B=

2

a

2mks q

；（3）帶電粒子在磁場中運(yùn)動的極限時(shí)間是

π?a

2

m 2qkS

．

點(diǎn)評：本題是粒子在磁場中勻速圓周運(yùn)動和電磁感應(yīng)的綜合．磁場中圓周運(yùn)動常用方法是畫軌跡，由幾何知識求半徑．