Question

9．一同學要研究輕質彈簧的彈性勢能與彈簧長度改變量的關系．實驗裝置如下圖甲所示，在離地面高為h的光滑水平桌面上，沿著與桌子右邊緣垂直的方向放置一輕質彈簧，其左端固定，右端與質量為m的小剛球接觸．將小球向左壓縮彈簧一段距離后由靜止釋放，使小球沿水平方向射出桌面，小球在空中飛行落到位于水平地面的記錄紙上留下痕跡．重力加速度為g

（1）若測得某次壓縮彈簧釋放后小球落點P痕跡到O點的距離為s，則釋放小球前彈簧的彈性勢能表達式為$\frac{mg{s}^{2}}{4h}$；
（2）該同學改變彈簧的壓縮量進行多次測量得到下表一組數(shù)據(jù)：

彈簧壓縮量x/cm	1.00	1.50	2.00	2.50	3.00	3.50
小球飛行水平距離s/×102cm	2.01	3.00	4.01	4.98	6.01	6.99

結合（1）問與表中數(shù)據(jù)，彈簧彈性勢能與彈簧壓縮量x之間的關系式應為$\frac{1{0}^{4}mg{x}^{2}}{h}$；
（3）完成實驗后，該同學對上述裝置進行了如圖乙所示的改變：
（I）在木板表面先后釘上白紙和復寫紙，并將木板豎直立于靠近桌子右邊緣處，使小球向左壓縮彈簧一段距離后由靜止釋放，撞到木板并在白紙上留下痕跡O；
（II）將木板向右平移適當?shù)木嚯x固定，再使小球向左壓縮彈簧一段距離后由靜止釋放，撞到木板上得到痕跡P；
（III）用刻度尺測量紙上O點到P點的豎直距離為y．若已知木板與桌子右邊緣的水平距離為L，則（II）步驟中彈簧的壓縮量應該為$\frac{L}{200}$$\sqrt{\frac{h}{y}}$．

Answer 1

分析 （1）彈簧釋放后，小球在彈簧的彈力作用下加速，彈簧與小球系統(tǒng)機械能守恒，小球離開桌面后，做平拋運動，根據(jù)平拋運動的知識可以求平拋的初速度，根據(jù)以上原理列式即可；
（2）先從實驗數(shù)據(jù)得出彈簧的壓縮量與小球的射程的關系；再結合第一小問中結論得到彈性勢能與小球的射程的關系，最后綜合出彈簧的彈性勢能E_P與彈簧長度的壓縮量x之間的關系．
（3）根據(jù)（1）中推導公式可求出對應的彈性勢能，再根據(jù)（2）關系式可求得對應的壓縮量．

解答 解：（1）小球射出桌面后，做平拋運動，在水平方向上有s=vt，在豎直方向上有h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，聯(lián)立可得v=s$\sqrt{\frac{g}{2h}}$．
運動過程中機械能守恒定律，故有E_P=$\frac{1}{2}$mv²=$\frac{mg{s}^{2}}{4h}$，釋放小球前彈簧的彈性勢能表達式為E_P=$\frac{mg{s}^{2}}{4h}$；
（2）從數(shù)據(jù)中可以s=200x，因為E_P=$\frac{mg{s}^{2}}{4h}$，所以彈簧彈性勢能與彈簧壓縮量x之間的關系式應為：
E_P=$\frac{1{0}^{4}mg{x}^{2}}{h}$
（3）因為E_P=$\frac{mg{s}^{2}}{4h}$，小球釋放前壓縮彈簧的彈性勢能為：
E_P=$\frac{mg{L}^{2}}{4y}$
聯(lián)立得（II）步驟中彈簧的壓縮量應該為x=$\frac{L}{200}$$\sqrt{\frac{h}{y}}$
故答案為：（1）$\frac{mg{s}^{2}}{4h}$； （2）$\frac{1{0}^{4}mg{x}^{2}}{h}$； （3）$\frac{L}{200}$$\sqrt{\frac{h}{y}}$．

點評 該題首先是考察了平拋運動的應用，解決關于平拋運動的問題常用的方法是沿著水平和豎直兩個方向進行分解，運用各方向上的運動規(guī)律進行解答．利用x與s之間的關系求出彈簧彈性勢能與彈簧壓縮量x之間的關系式．考察了在現(xiàn)有知識的基礎上對實驗改裝后的情況進行分析求解，考察了同學們的應變能力．還考察了對實驗誤差的分析能力．