Question

11．由中國科學(xué)院、中國工程院兩院院士評出的2012年中國十大科技進(jìn)展新聞，于2013年1月19日揭曉，“神九”載人飛船與“天宮一號”成功對接和“蛟龍”號下潛突破7000米分別排在第一、第二．若地球半徑為R，把地球看做質(zhì)量分布均勻的球體，地球表面的重力加速度大小為g，引力常量為G．“蛟龍”下潛深度為d，天宮一號軌道距離地面高度為h，已知質(zhì)量分布均勻的球殼對殼內(nèi)物體的引力為零，求：
（1）“天宮一號”繞地心轉(zhuǎn)一周的時間是多少？
（2）“蛟龍”號所在處與“天宮一號”所在處的重力加速度之比為多少？
（3）設(shè)想地球的密度不變，自轉(zhuǎn)周期不變，但地球球體半徑變?yōu)樵瓉淼囊话耄瑑H考慮地球和同步衛(wèi)星之間的相互作用力，則該“設(shè)想地球”的同步衛(wèi)星的軌道半徑與以前地球的同步衛(wèi)星軌道半徑的比值是多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬有引力提供向心力，以及萬有引力等于重力，求出）“天宮一號”繞地心轉(zhuǎn)一周的時間；
（2）根據(jù)萬有引力等于重力求出天宮一號所處位置的重力加速度，在深度為d的地球內(nèi)部，受到地球的萬有引力即為半徑等于（R-d）的球體對表面物體的萬有引力，從而求出“蛟龍”號所在處的重力加速度，得出重力加速度之比．
（3）根據(jù)萬有引力提供向心力，抓住地球質(zhì)量的變化求出軌道半徑之比．

解答 解：（1）根據(jù)萬有引力提供向心力有：$G\frac{Mm}{（R+h）_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}（R+h）$，根據(jù)萬有引力等于重力有：$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=mg$，解得：$T=\sqrt{\frac{4{π}_{\;}^{2}（R+h）_{\;}^{3}}{g{R}_{\;}^{2}}}$．
（2）令地球的密度為ρ，對天宮一號：$G\frac{Mm}{（R+h）_{\;}^{2}}=mg$，又：$M=ρ•\frac{4}{3}π{R}_{\;}^{3}$，則：$g=\frac{4ρGπ{R}_{\;}^{3}}{3（R+h）_{\;}^{2}}$，質(zhì)量分布均勻的球殼對殼內(nèi)物體的引力為零，故在深度為d的地球內(nèi)部，受到地球的萬有引力即為半徑等于（R-d）的球體對其表面物體的萬有引力，故“蛟龍?zhí)枴彼�在處的重力加速�?g′=\frac{4}{3}πGρ（R-d）$，所以有$\frac{g′}{g}=\frac{（R+h）_{\;}^{2}（R-d）}{{R}_{\;}^{3}}$．
（3）地球?qū)ν�步衛(wèi)星的萬有引力提供同步衛(wèi)星所需的向心力$G\frac{{M}_{1}^{\;}m}{{r}_{1}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}{r}_{1}^{\;}$，$G\frac{{M}_{2}^{\;}m}{{r}_{2}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}{r}_{2}^{\;}$，${M}_{1}^{\;}=ρ\frac{4}{3}π{R}_{\;}^{3}$，${M}_{2}^{\;}=ρ\frac{4}{3}π（\frac{R}{2}）_{\;}^{3}$，聯(lián)立解得$\frac{{r}_{2}^{\;}}{{r}_{1}^{\;}}=\frac{1}{2}$．
答：（1）“天宮一號”繞地心轉(zhuǎn)一周的時間是$\sqrt{\frac{4{π}_{\;}^{2}（R+h）_{\;}^{3}}{g{R}_{\;}^{2}}}$
（2）“蛟龍”號所在處與“天宮一號”所在處的重力加速度之比為$\frac{（R+h）_{\;}^{2}（R-d）}{{R}_{\;}^{3}}$
（3）設(shè)想地球的密度不變，自轉(zhuǎn)周期不變，但地球球體半徑變?yōu)樵瓉淼囊话�，僅考慮地球和同步衛(wèi)星之間的相互作用力，則該“設(shè)想地球”的同步衛(wèi)星的軌道半徑與以前地球的同步衛(wèi)星軌道半徑的比值是1：2

點評 解決本題的關(guān)鍵掌握萬有引力定律的兩個重要理論：1、萬有引力等于重力，2、萬有引力提供向心力，并能靈活運用．