Question

18．（1）開普勒行星運(yùn)動第三定律指出：行星繞太陽運(yùn)動的橢圓軌道的半長軸a的三次方與它的公轉(zhuǎn)周期T的二次方成正比，即$\frac{{a}^{3}}{{T}^{2}}$=k，k是一個(gè)對所有行星都相同的常量．將行星繞太陽的運(yùn)動按圓周運(yùn)動處理，請你推導(dǎo)出太陽系中該常量k的表達(dá)式．已知引力常量為G，太陽的質(zhì)量為M_太．
（2）開普勒定律不僅適用于太陽系，它對一切具有中心天體的引力系統(tǒng)（如地月系統(tǒng)）都成立．經(jīng)測定月地距離為3.84×10⁸ m，月球繞地球運(yùn)動的周期為2.36×10⁶ s，試計(jì)算地球的質(zhì)量M_地．（G=6.67×10^-11N•m²/kg²，結(jié)果保留一位有效數(shù)字）

Answer 1

分析 （1）行星繞太陽的運(yùn)動按圓周運(yùn)動處理時(shí)，此時(shí)軌道是圓，就沒有半長軸了，此時(shí)$\frac{{a}^{3}}{{T}^{2}}$=k應(yīng)改為$\frac{{r}^{3}}{{T}^{2}}$，再由萬有引力作為向心力列出方程可以求得常量k的表達(dá)式；
（2）根據(jù)（1）中得到的關(guān)系式，帶入數(shù)據(jù)即可求得地球的質(zhì)量．

解答 解：（1）因行星繞太陽作勻速圓周運(yùn)動，于是軌道的半長軸a即為軌道半徑r．根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律有
    G$\frac{{m}_{行}{M}_{太}}{{r}^{2}}$=m_行${（\frac{2π}{T}）}^{2}$r                ①
于是有       $\frac{{r}^{3}}{{T}^{2}}$=$\frac{G}{4{π}^{2}}$M_太                    ②
即          k=$\frac{G}{4{π}^{2}}$M_太                         ③
（2）在月地系統(tǒng)中，設(shè)月球繞地球運(yùn)動的軌道半徑為R，周期為T，由②式可得
          $\frac{{R}^{3}}{{T}^{2}}$=$\frac{G}{4{π}^{2}}$M_地            ④
代入數(shù)據(jù)解得      M_地=6×10²⁴kg                         ⑤
答：（1）太陽系中該常量k的表達(dá)式為 k=$\frac{G}{4{π}^{2}}$M_太；
（2）地球的質(zhì)量為6×10²⁴kg．

點(diǎn)評 本題就是考察學(xué)生對開普勒行星運(yùn)動第三定律的理解和應(yīng)用，掌握住開普勒行星運(yùn)動第三定律和萬有引力定律即可求得結(jié)果，式中的常量k必須是相對于同一個(gè)中心天體來說的．